Limiti e serie. Non chiaro
Ciao a tutti ho questo esercizio:
testo:
Trovare il limite della somma costituita dalle lunghezze delle ordinate della curva:
$y = e^-x cos pix$
tracciate nei punti x=0, 1, 2, 3, ..., $n$ quando $n->infty$
Praticamente è questo:
$\sum_{x=0}^N e^(-x)cos pi x$ con $N->infty$
ovviamente sono riuscito a calcolare che la serie converge poichè il suo limite all'infinito è 0 però non so come calcolare il risultato e sulla teoria non è spiegato. Potete aiutarmi?
testo:
Trovare il limite della somma costituita dalle lunghezze delle ordinate della curva:
$y = e^-x cos pix$
tracciate nei punti x=0, 1, 2, 3, ..., $n$ quando $n->infty$
Praticamente è questo:
$\sum_{x=0}^N e^(-x)cos pi x$ con $N->infty$
ovviamente sono riuscito a calcolare che la serie converge poichè il suo limite all'infinito è 0 però non so come calcolare il risultato e sulla teoria non è spiegato. Potete aiutarmi?
Risposte
Ciao,
prova a riflettere su cosa diventa $cos( pi x)$ quando $x in N$ (cioè è un numero naturale).
prova a riflettere su cosa diventa $cos( pi x)$ quando $x in N$ (cioè è un numero naturale).
il cos diventa +1 e -1, quindi il primo ragionamento che mi viene da fare è che se a sinistra ci fosse un qualcosa di costante la serie non convergerebbe..
però non riesco ad arrivare ad una conclusione sensata.
L'unica cosa che ho pensato è fare $e^0 - e^-1$ prendendo i primi due numeri naturali e sostituendoli dentro all'operazione.
il risultato viene $1-1/e = (e-1)/e$ ma è esattamente il contrario di quello che dovrei trovare, e soprattutto non ho capito perchè avrei dovuto scartare i numeri k naturali maggiorni di 2....
però non riesco ad arrivare ad una conclusione sensata.
L'unica cosa che ho pensato è fare $e^0 - e^-1$ prendendo i primi due numeri naturali e sostituendoli dentro all'operazione.
il risultato viene $1-1/e = (e-1)/e$ ma è esattamente il contrario di quello che dovrei trovare, e soprattutto non ho capito perchè avrei dovuto scartare i numeri k naturali maggiorni di 2....
Ciao
il cos diventa +1 o -1 ok, allora $cos(pi x)=(-1)^x$ e lo sostituiamo nell'espressione della serie che diventa (scrivendo $k$ al posto di $x$):
$sum_(k=0)^(oo)(-1)^k e^(-k)=sum_(k=0)^(oo)(-1/e)^k$ che è una serie geometrica di ragione $q=-1/e$ la cui somma è nota e vale $1/(1-q)$. Sostituisci a $q$ il suo valore e trovi la somma.
il cos diventa +1 o -1 ok, allora $cos(pi x)=(-1)^x$ e lo sostituiamo nell'espressione della serie che diventa (scrivendo $k$ al posto di $x$):
$sum_(k=0)^(oo)(-1)^k e^(-k)=sum_(k=0)^(oo)(-1/e)^k$ che è una serie geometrica di ragione $q=-1/e$ la cui somma è nota e vale $1/(1-q)$. Sostituisci a $q$ il suo valore e trovi la somma.
grazie mille, domani provo con calma a ragionarci meglio su, però è abbastanza chiaro.
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