Limiti e ordini di infinito
Salve a tutti. Ho incontrato difficoltà nella risoluzione di questo limite:
$ lim_(n -> oo) 2^n/n^5 $
Mi è stato detto di risolverlo utilizzando le gerarchie tra infiniti, secondo la quale $ 2^n $ va a $ +oo $ più velocemente di $ n^5 $, di conseguenza il limite sarebbe appunto $ +oo $.
Ora, però: la gerarchia degli infiniti si basa sul fatto che appunto il limite del rapporto di due funzioni che tendono a infinito sia pari a $ +oo $ (in questo caso si parla di infinito di ordine superiore) o $ 0 $ (in questo caso si parla di infinito di ordine inferiore). Ma per farlo bisognerebbe risolvere questo limite, e questo limite si risolve utilizzando la gerarchia degli infiniti, e si ritorna alla questione iniziale.
Quindi le questioni sono due:
1) o non so risolvere questo limite
2) oppure non ho capito molto sulla gerarchia degli infiniti
Potreste darmi una mano a fugare ogni dubbio?
Grazie in anticipo
$ lim_(n -> oo) 2^n/n^5 $
Mi è stato detto di risolverlo utilizzando le gerarchie tra infiniti, secondo la quale $ 2^n $ va a $ +oo $ più velocemente di $ n^5 $, di conseguenza il limite sarebbe appunto $ +oo $.
Ora, però: la gerarchia degli infiniti si basa sul fatto che appunto il limite del rapporto di due funzioni che tendono a infinito sia pari a $ +oo $ (in questo caso si parla di infinito di ordine superiore) o $ 0 $ (in questo caso si parla di infinito di ordine inferiore). Ma per farlo bisognerebbe risolvere questo limite, e questo limite si risolve utilizzando la gerarchia degli infiniti, e si ritorna alla questione iniziale.
Quindi le questioni sono due:
1) o non so risolvere questo limite
2) oppure non ho capito molto sulla gerarchia degli infiniti
Potreste darmi una mano a fugare ogni dubbio?
Grazie in anticipo
Risposte
La gerarchia degli infiniti è uno strumento (se vogliamo è un teorema) che afferma proprio cose del tipo:
Se $p(x)$ è una funzione polinomiale e $e(x)$ è una funzione esponenziale entrambe infinite all'infinito allora
$lim_{x \to \infty} \frac{e(x)}{p(x)} = \infty$
Essendo questo il tuo caso, puoi applicare il teorema e affermare che il limite fa quel che fa...
O la tua domanda è come si dimostra la gerarchia degli infiniti?
Se $p(x)$ è una funzione polinomiale e $e(x)$ è una funzione esponenziale entrambe infinite all'infinito allora
$lim_{x \to \infty} \frac{e(x)}{p(x)} = \infty$
Essendo questo il tuo caso, puoi applicare il teorema e affermare che il limite fa quel che fa...
O la tua domanda è come si dimostra la gerarchia degli infiniti?
Ah, grazie mille, ho capito meglio ora, non mi ero mai imbattuto in questo teorema. E quindi ovviamente questo vale qualsiasi sia la base dell'esponenziale e qualsiasi sia il grado della funzione polinomiale? Mi spiego: anche nel caso (estremo)
$ 2^n/n^99999999 $?
$ 2^n $ resta comunque di ordine superiore rispetto a $ n^99999999 $ (ovviamente con un punto di intersezione molto più spostato verso destra)?
(Per la dimostrazione penso di riuscire a trovarla su internet
)
$ 2^n/n^99999999 $?
$ 2^n $ resta comunque di ordine superiore rispetto a $ n^99999999 $ (ovviamente con un punto di intersezione molto più spostato verso destra)?
(Per la dimostrazione penso di riuscire a trovarla su internet
)
Si si, qualunque sia la base (be' maggiore di uno) e qualunque sia l'esponente di $n$ a denominatore (be' maggiore di 0).
Ok perfetto grazie mille
Per quanto riguarda il limite del post iniziale se si vuole "vedere" cosa accade si può adottare ad esempio de l'Hopital in quanto siamo di fronte ad una forma indeterminata (anche se il risultato è già noto per gli ordini di infinito). Per non saper nè leggere nè scrivere vediamo cosa accade :
quindi dopo \(\displaystyle 5 \) applicazioni del teorema di de l'Hopital si vede che il limite non è più indeterminato, di conseguenza (in generale) \(\displaystyle a^n \) è un infinito di ordine maggiore rispetto ad \(\displaystyle n^a \).
Stesso discorso per il secondo limite con \(\displaystyle n^{999999} \), in tal caso dopo \(\displaystyle 999999 \) applicazioni del teorema si raggiunge (prevedibilmente) :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^5} = \lim_{n \to \infty} \frac{log(2) \; 2^n}{5\;n^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{log^2(2) \; 2^n}{20\;n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{log^3(2) \; 2^n}{60\;n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{log^4(2) \; 2^n}{120\;n} = \lim_{n \to \infty} \frac{log^5(2) \; 2^n}{120} \)
quindi dopo \(\displaystyle 5 \) applicazioni del teorema di de l'Hopital si vede che il limite non è più indeterminato, di conseguenza (in generale) \(\displaystyle a^n \) è un infinito di ordine maggiore rispetto ad \(\displaystyle n^a \).
Stesso discorso per il secondo limite con \(\displaystyle n^{999999} \), in tal caso dopo \(\displaystyle 999999 \) applicazioni del teorema si raggiunge (prevedibilmente) :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^{999999}} = ... = \lim_{n \to \infty} \frac{log^{999999}(2) \;2^n}{999999!} \to \infty \)
Si, ha ragione, ci ho pensato dopo, grazie mille comunque!
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