Limiti e de L'Hopital

[centrons95]

Salve a tutti mi servirebbe una mano e alcuni chiarimenti per questi tre limiti:

$ 1. lim x->+oo (1/(sen (1/x))-x)

2. lim x-> 0 (1/(sen x) -1/x)

3. lim x-> 0 ((1+x)^(1/x) - e)/x $

Premettto che l'ultimo non sono proprio riuscito a calcolarlo, ma dovrebbe venire -e/2. Per quanto riguarda i primi due credo siano equivalenti, visto che con un banale cambio di variabli (x'=1/x) dall'uno si ottiene l'altro (dovrebbero venire entrambi zero). L'unico dubbio che mi era venuto è che nel 2 -1/x tende da destra a -inf e da sinistra a +inf, mentre nell'1 -x tende solo a -inf

Secondo voi è possibile calcolarli senza utilizzare i teoremi di de L'Hopital o lo sviluppo in serie di Taylor.

[francicko]

i primi due sono semplici e come hai detto, danno $0$ come risultato, basta sostituire ad $sin(1/x)$ ed a $sinx$, i loro rispettivi asintotici, $1/x$ ed $x$, e facilmente si risolvono;
Per quanto riguardo il terzo limite, bisogna porre l'attenzione al numeratore. ed usare necessariamente lo sviluppo in serie di Mc Laurin o Hopital, pertanto avrai $lim_(x->0)((e-(e/2)x+o(x^2))-e)/x=lim_(x->0)((-ex)/2)/x=-e/2$