Limiti e convessità

[Paolo902]

Problema (SISSA, PhD 2000) Sia \( f \colon \mathbb R \to \mathbb R\) una funzione convessa di classe $C^1$. Supponiamo che esista il limite
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = L \in (0,+\infty).
\]
(a) Dimostrare che
\[
0<\liminf_{x\to+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{x} \le \limsup_{x\to+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{x} < +\infty.
\]

(b) Dimostrare che il limite
\[
\lim_{x\to+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{x}
\]
esiste e determinarne il valore.

In spoiler la mia soluzione; vi chiedo cortesemente di darci un'occhiata, non vorrei essermi perso qualcosa.

Tutto ruota attorno alla disuguaglianza (che discende dalla convessità)
\[\tag{1}
f(y)>f(x)+f^{\prime}(x)(y-x)
\]
valida per ogni $x,y \in \RR$. In particolare, sostituendo $y=0$ in (1) si trova per ogni $x>0$
\[
\frac{f^{\prime}(x)}{x} \ge \frac{f(x)-f(0)}{x^2} \Rightarrow \liminf_{x\to+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{x} \ge L>0.
\]
Analogamente, prendendo $y=2x$ in (1) abbiamo
\[
\frac{f^{\prime}(x)}{x} \le \frac{f(2x)-f(x)}{x^2} \Rightarrow \limsup_{x\to+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{x} \le 3L<\infty.
\]
La disuguaglianza di mezzo è ovvia e, pertanto, abbiamo finito il punto (a).

Per il punto (b): assumiamo di sapere che il limite in questione esista. Osserviamo che sempre da (1) deduciamo che $f(x) \to +\infty$ per $x \to +\infty$ e quindi, usando De L'Hopital, abbiamo che
\[
\lim_{x\to+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2f(x)}{x^2} =2L.
\]
Ora il punto è dimostrare che il limite esiste. Per fare ciò, ho rivisto la dimostrazione del punto (a) cercando stime più accurate. In particolare, ho sostituito in (1), $y=kx$ con $k \in \RR$ e $k \ne 1$. Ho ottenuto che per ogni $k>1$
\[
\frac{f^{\prime}(x)}{x} \ge \frac{f(x)-f(kx)}{x-kx} \Rightarrow \liminf_{x\to+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{x} \ge (k+1)L
\]
e per ogni $k<1$
\[
\frac{f^{\prime}(x)}{x} \le \frac{f(kx)-f(x)}{x(x-kx)} \Rightarrow \limsup_{x\to+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{x} \le (k+1)L.
\]
Siccome $k$ è arbitrario, mandando $k \to 1$ ottengo
\[
2L \le \liminf_{x\to+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{x} \le \limsup_{x\to+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{x} \le 2L
\]
che conclude il tutto.

Che ne dite? Sono un po' dubbioso sull'ultima parte...
Ringrazio.

[Luca.Lussardi]

si l'ultima parte va bene, mandi $k\to 1^+$ nella disuguaglianza del liminf e $k\to 1^-$ in quella del limsup e hai finito.

[Paolo902]

Perfetto, grazie mille per il controllo.