Limiti e continuità con definizione in contesto multivariabile

[InfiniteJest]

Ciao,
sto avendo problemi a risolvere alcuni esercizi sulla continuità di funzioni in più variabili ($C \rightarrow C$ o $R^n \rightarrow R^m$) con la definizione. Ne riporto due a titolo di esempio:
Data una funzione $$f(z): C \rightarrow C$$ continua che verifica $f(i)=2-4i$, $\exists \sigma>0$ tale che
...e ho una serie di opzioni di cui quella esatta so essere
$Re(f(z))+Im(f(z))<-1/4$ se $|Rez|+|1-Imz|<\sigma$
e sto cercando di dimostrarlo/capirlo/provare perchè.
Finora ho ragionato così: intanto dico che tratto il campo $C$ come tratterei $\R^2$ e quindi parto da
$$lim_{z \rightarrow i}f(z)=2-4i$$ ovvero
$$\forall \epsilon>0 \exists \sigma>0 : |z-z_{0}|<\sigma, |f(z)-f(i)|<\epsilon$$ ovvero $$|z-i|<\sigma, |f(z)-2+4i|<\epsilon$$
quindi provo a sviluppare separando parte reale e parte immaginaria
$$|Rez+iImz-i|<|Rez|+|1-Imz|<\sigma, |Ref(z)+iImf(z)-2+4i|<\epsilon$$
$$|Rez+iImz-i|<|Rez|+|1-Imz|<\sigma, \sqrt{(Ref(z)-2)^2+(Imf(z)+4)^2}<\epsilon$$
oppure
$$|Rez+iImz-i|<|Rez|+|1-Imz|<\sigma, |Ref(z)-2|+|Imf(z)+4|<\epsilon$$ ??
da cui ammesso e non concesso che fin qui abbia senso potrei provare ad aprire i moduli?
Comunque sto andando a tentoni. In particolare non vedo come impostare delle maggiorazioni per la funzione e ricavare una relazione fra $\epsilon$ e $\sigma$ visto che non è data la forma esplicita della funzione.

Ho le idee ancora meno chiare in un esercizio analogo con $$g(x):R^3 \rightarrow R^3$$ che verifica $$lim_{x \rightarrow (0,0,0)}g(x)=(7,4,5)$$
e devo verificare/provare/mostrare $g_{3}(x)>2$ se $1<|x/\delta|<7$.
dove forse bisogna ragionare applicando la definizione di limite componente per componente?
Spero di essere stato chiaro e ringrazio in anticipo.

[anonymous_0b37e9]

Trattandosi della definizione di limite nel caso in cui la funzione sia continua, fin qui nessun problema:

$AA \epsilon>0 EE \sigma>0 : |z-i|<\sigma rarr |f(z)-2+4i|<\epsilon$

Ora, mentre questa è vera per ipotesi:

$|Rez+iImz-i|<\sigma$

questa è vera a prescindere:

$|Rez+iImz-i|<|Rez|+|1-Imz|$

Tuttavia, potrebbe essere:

$|Rez+iImz-i|<\sigma<|Rez|+|1-Imz|$

[InfiniteJest]

Ciao,

Sì grazie, mi ero accorto di ciò che dici, diciamo che sono messo (forse arbitrariamente) nel caso favorevole alla tesi sperando corrispondentemente di concludere qualcosa su $f(z)$. C'è anche da dire che questa cosa avrebbe senso se usassi la condizione su $z$ poi nel calcolo corrispondente per la stima di $f(z)$, cosa che non faccio. Il problema è, come si può fare?

Saluti

[anonymous_0b37e9]

"InfiniteJest":
...mi ero accorto di ciò che dici...

Ottimo. Ad ogni modo, puoi formalizzare la prima parte nel modo seguente:

$AA \epsilon>0 EE \sigma>0 : |z-i|<\sigma/2 rarr \{(|Rez|<=|z-i|<\sigma/2),(|1-Imz|<=|z-i|<\sigma/2):} rarr |Rez|+|1-Imz|<\sigma rarr$

$rarr |f(z)-2+4i|<\epsilon$

Così, definitivamente:

$AA \epsilon>0 EE \sigma>0 : |Rez|+|1-Imz|<\sigma rarr |f(z)-2+4i|<\epsilon$

[InfiniteJest]

Ringrazio per la utile precisazione!
Purtroppo però non riesco a concludere. Non c'è nessun altro? Capisco che il 5 agosto la gente abbia di meglio da fare però vi sarei grato!

[anonymous_0b37e9]

Puoi formalizzare la seconda parte nel modo seguente:

$|Ref(z)-2|<|f(z)-2+4i|<\epsilon rarr 2-\epsilon
$|Im(f(z))+4|<|f(z)-2+4i|<\epsilon rarr -4-\epsilon
Quindi:

$Ref(z)+Imf(z)<-2+2\epsilon$

Scegliendo $[\epsilon=7/8]$ ottieni la tesi:

$Ref(z)+Imf(z)<-1/4$

[InfiniteJest]

Il fatto è, da
$$-2-2\epsilon vedo che $Ref(z)+Imf(z)$ è compreso in un intorno del punto -2, con $\epsilon$ a priori piccolo. È lecito scegliere $\epsilon$ "così grande" (7/8), spostandosi quindi da un intorno di -2 a $(-15/4,-1/4)$, "solo" per far tornare il risultato? Il metodo più corretto non sarebbe trovare proprio un intorno di -1/4 o di qualcosa poco più piccolo?
Questo risultato infatti lo avevo trovato ma poi scartato per questa ragione.
Ringrazio ancora per la grande disponibilità!

[anonymous_0b37e9]

Ti ricordo che:

per ogni $\epsilon>0$ esiste un $\sigma>0$ tale che...

Insomma, $\epsilon$ non deve essere necessariamente piccolo. Ovviamente, quando si verifica un limite, per non complicarsi inutilmente la vita durante la discussione di una disequazione parametrica, ci si mette sempre nel caso in cui $\epsilon$ sia piccolo perchè, se riesco a trovare un intorno della variabile indipendente nel caso di un certo valore di $\epsilon$, lo stesso intorno verifica il limite per tutti gli $\epsilon$ più grandi. La tesi risulta sostituendo nella verifica $\epsilon=7/8$, cioè, dovrei trovare l'intorno della variabile indipendente solo per questo valore di $\epsilon$. Veramente, l'esercizio nemmeno ti chiede l'intorno, ossia, il valore di $\sigma$ che dipende da $\epsilon$. Piuttosto, vuole testare le competenze che hai visto.