Limiti e calibri di convergenza

[ed_r4d1cal]

Ho assoluto bisogno che qualcuno mi aiuti a risolvere questi limiti e trovare i rispettivi calibri di convergenza:

1) (n+(-1)^n)/(n-(-1)^n)
2) 1/2+1/4+1/8+.....+1/2^n
3) (1+2^2+3^2+4^2+.....+n^2)/n^3
4)((n+1)+(n+2)+(n+3))/n^3
5) 1/n^2 + 2/n^2 + ...... + (n-1)/n^2

Sarei molto grato a chiunque mi dia una mano visto che la ricerca dei calibri è una cosa che mi rimane molto difficile e poi il calcolo dei limiti su delle sommatorie non so proprio come approcciarli. Ogni aiuto è ben accetto

[goblyn]

cosa sono i calibri?

1)

per n-->inf posso trascurare (-1)^n rispetto a n e quindi il limite fa n/n=1

2)

puoi riscriverlo come

S[1;n] (1/2)^n

E' la serie geometrica troncata. Sappiamo che

S[0;n] q^n = (1-q^(n+1)) / (1-q)

quindi

S[1;n] q^n = [(1-q^(n+1)) / (1-q)] - 1 = (q - q^(n+1)) / (1-q)

per n-->inf q^(n+1)-->0 se |q|<1. Quindi:

S[1;inf] = q / (1-q)

per q=1/2 ottieni che il limite vale 1.

3)

La somma dei primi n interi vale:

n(n+1)(2n+1)/6 --> (n^3)/3

Quindi il limite vale 1/3

4)

secondo me il testo non è questo qui... cmq se è così allora al numeratore (facendo tendere n all'inf) rimane solo 3n e quindi il limite va a 0 (al den c'è n^3).

5)

( 1/(n^2) ) * S[1;n-1] i

la somma dei primi n interi è n(n+1)/2, quindi la somma dei primi n-1 è n(n-1)/2 --> (n^2)/2
Il limite è dunque 1/2

[ed_r4d1cal]

Non so perchè ma il mio professore di analisi pretende che risolviamo i limiti con la ricerca dei calibri di convergenza. Ovvero, una successione a(n) di numeri razionali converge allo 0 se per ogni "k" appartenente a N esiste un f(k) tale che se n>=f(k) allora:
-1/k < a(n) < 1/k

Naturalmente il limite di quella successione che tende a infinito è uguale a zero e f(k) è il suo calibro di convergenza.
Quindi per trovare il calibro della successione a(n)= 1/n si procede così:

-1/k < 1/n < 1/k

Si vede subito che la disequazione -1/k < 1/n è sempre vera visto che n appartiene ai numeri interi naturali quindi rimane solo 1/n < 1/k:

1/n < 1/k --> n > k

per far si che n > k ci basta fissare f(k)= k+1 così che preso qualunque k numero naturale, n ne sarà sempre maggiore visto che n>= f(k).
In questo caso il limite vale 0 e il calibro di convergenza è K+1. Si nota subito che come calibro sarebbe andato bene anche K+2 o K+3, infatti non ci interessa avere il calibro ottimale ma solo un calibro valido.
Quando un limite che tende a infinito non da zero si raggiona così:

lim a(n)= A --> lim (a(n)-A)=0

quindi bisogna trovare il calibro di a(n)-A in base alla relazione detta all'inizio.
Se il limite invece, per n che tende sempre a + infinito, da infinito la relazione per trovare il calibro é:

a(n) > k

quindi per a(n) = n/2 che da come limite +infinito si procede così:

n/2 > k--> n > 2k

quindi fissiamo f(k)= 2k + 1 che sarà il suo calibro.
Ora se vuoi cimentarti a trovare i calibri per i limiti che ti ho dato mi daresti una gran mano.
P.s. Il testo del 4 esercizio è giusto: è tutto diviso n^3

[ed_r4d1cal]

Scusa sono ancora io.
Volevo chiederti se usavi qualche metodo preciso per ricavarti da una sommatoria di numeri una funzione che li esprime.
Se ti rimane più comodo puoi rispondermi anche tramite mail a [e-mail]

Grazie mille del prezioso aiuto

[goblyn]

ok capito tutto. Ci penso domani però vista l'ora...

[goblyn]

1)

il limite vale 1, scriviamo allora:

g(n):= (n+(-1)^n)/(n-(-1)^n) - 1 = 2*(-1)^n / (n-(-1)^n)

Dobbiamo vedere, secondo il tuo procedimento, quando:

|g(n)|<1/k

Quindi:

|2/(n-(-1)^n)|<1/k

Il denominatore nel modulo è almeno definitivamente positivo. Togliamo il modulo:

2/(n-(-1)^n) < 1/k
2k < n-(-1)^n
n > 2k + (-1)^n

Basta che sia f(k)=2k+1

2)

(q - q^(n+1)) / (1-q) per q=1/2 vale

1-2^(-n)

Il limite fa 1 e come al solito lo sottraiamo al fine di trovare un calibro, rimane:

-2^(-n)

Dev'essere:

|-2^(-n)|<1/k

2^(-n)<1/k

-n*log(2)<-log(k)

n > log(k)/log(2)

un calibro è quindi f(k)=log(k+1)/log(2)

eccetera! poi magari finisco...

[vecchio1]

...mamma mia ragà, ma avete qualche prooblema a prendere sonno???


un saluto
il vecchio