Limiti due variabili
Il lim (x^2+2x^2y+y^2) / (x^2+y^2)
(x,y)→(0,0)
• esiste e vale 0.
• esiste e vale 1.
• esiste e vale 2.
• Nessuna delle altre.
Vale 1 giusto?
(x,y)→(0,0)
• esiste e vale 0.
• esiste e vale 1.
• esiste e vale 2.
• Nessuna delle altre.
Vale 1 giusto?
Risposte
Non si capisce nulla. Scritto così sembra che $x^2$ divida solo $y^2$, non puoi lasciare così tanta ambiguità a chi ti legge. Riscrivilo bene, per favore.
Ho messo le parentesi, così è più chiaro
Ok, la prossima volta metti anche i simboli di dollaro per favore, che si vede decisamente meglio comunque.
È corretto, il limite è $1$. Come lo hai dimostrato?
È corretto, il limite è $1$. Come lo hai dimostrato?
Va bene, grazie mille
Ho usato le polari
Prego! Se vuoi, puoi scrivere i conti che hai fatto (tra dollari possibilmente)?
I limiti in più variabili sono insidiosi, l'errore è spesso dietro l'angolo.
I limiti in più variabili sono insidiosi, l'errore è spesso dietro l'angolo.
limite per p->0 di $(p^2(cos teta)^2+ p^3(cos teta)^2sen teta + p^2sen teta)/ p^2$
Da qui $p^2(cos teta)^2$ e $p^2(sen teta)^2 $si semplifica con il denominatore e danno 1, Mentre il $p^3$ mi dà zero. 1+0 e ho trovato 1.
Ti sembra corretto?
Grazie
Da qui $p^2(cos teta)^2$ e $p^2(sen teta)^2 $si semplifica con il denominatore e danno 1, Mentre il $p^3$ mi dà zero. 1+0 e ho trovato 1.
Ti sembra corretto?
Grazie
Chiedo scusa per il $teta$ dovrebbe essere un teta, consideralo un solo membro
Ciao AndretopC0707,
Questo solo per mostrarti come si scrive $\theta $:
Altrimenti viene fuori quell'obbrobrio che hai scritto...
Ti riscrivo correttamente il limite in coordinate polari, sicché tu possa eventualmente modificare correggendolo il tuo post:
$ \lim_{\rho \to 0}(\rho^2 cos^2 \theta + \rho^3 cos^2 \theta sin\theta + \rho^2 sin^2 \theta)/\rho^2 $
"AndretopC0707":
Chiedo scusa per il $\teta$ dovrebbe essere un teta
Questo solo per mostrarti come si scrive $\theta $:
$\theta $
Altrimenti viene fuori quell'obbrobrio che hai scritto...
Ti riscrivo correttamente il limite in coordinate polari, sicché tu possa eventualmente modificare correggendolo il tuo post:
$ \lim_{\rho \to 0}(\rho^2 cos^2 \theta + \rho^3 cos^2 \theta sin\theta + \rho^2 sin^2 \theta)/\rho^2 $
Grazie mille
In realtà il passaggio chiave è proprio quello che hai scritto a parole, scrivi quell'ultimo passaggio perché potrebbe non essere corretto.
In che senso?
$p^2 cos^2theta + p^2 sen^2theta$ fa $p^2$ e diviso $p^2$ fa 1, l’altro termine è $p^3$ che diviso $p^2$ fa 0.
1+0 = 1 no?
1+0 = 1 no?
"AndretopC0707":
l’altro termine è $p^3$ che diviso $p^2$ fa 0.
$\rho^3$ diviso $\rho^2$ fa $\rho$, quindi tende a $0$ per $\rho \to 0^+$ e non "fa" $0$; attenzione all'esposizione, scrivere per bene quello che si sta facendo è anche segno di rispetto per chi ti sta leggendo.
"AndretopC0707":
1+0 = 1 no?
No, perché hai
$$\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^2 \cos^2\theta+\rho^3 \cos^3 \theta \sin \theta+\rho^2 \sin^2 \theta}{\rho^2}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^2+\rho^3 \cos^3 \theta \sin \theta}{\rho^2}=$$
$$=\lim_{\rho \to 0^+} \left(1+\rho \cos^3 \theta \sin \theta\right)$$
Che dipende da $\theta$.
I limiti in più variabili sono insidiosi proprio perché devi dimostrare che il limite è indipendente dalla direzione dalla quale si giunge al punto $(x_0, y_0)$ a cui tende $(x,y)$, perciò la dipendenza da $\theta$ non ti permette di concludere nulla perché dipendere dall'angolo significa dipendere dalla direzione.
Suggerimento: prova a dimostrare che
$$\left| \lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^2 \cos^2\theta+\rho^3 \cos^3 \theta \sin \theta+\rho^2 \sin^2 \theta}{\rho^2} -1 \right|=0$$
Non ho capito, quanto dovrebbe fare il limite? Zero?
Se uno più un numero che tende a zero perché non fa 1?
Se uno più un numero che tende a zero perché non fa 1?
Il limite è $1$, ti ho detto "no" prima quando hai detto "1+0=1" perché come sospettavo (infatti ti ho chiesto di scrivere il procedimento proprio per questo, non per altro) il procedimento con cui giungi al risultato è sbagliato, sei stato solo fortunato nell'avere ottenuto comunque il risultato corretto.
Da cosa deduci che dovrebbe essere $0$ il limite nel mio messaggio precedente? Da questo?
Se sì, urge un ripasso di analisi 1; quello non significa assolutamente che il limite è $0$.
Te l'ho già spiegato qui:
Rileggi con attenzione.
Da cosa deduci che dovrebbe essere $0$ il limite nel mio messaggio precedente? Da questo?
"Mephlip":
$$\left| \lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^2 \cos^2\theta+\rho^3 \cos^3 \theta \sin \theta+\rho^2 \sin^2 \theta}{\rho^2} -1 \right|=0$$
Se sì, urge un ripasso di analisi 1; quello non significa assolutamente che il limite è $0$.
"AndretopC0707":
Se uno più un numero che tende a zero perché non fa 1?
Te l'ho già spiegato qui:
"Mephlip":
I limiti in più variabili sono insidiosi proprio perché devi dimostrare che il limite è indipendente dalla direzione dalla quale si giunge al punto $(x_0, y_0)$ a cui tende $(x,y)$, perciò la dipendenza da $\theta$ non ti permette di concludere nulla perché dipendere dall'angolo significa dipendere dalla direzione.
Rileggi con attenzione.
Ma perché il procedimento è sbagliato?
$p^3/p^2$ è $p$ , dato che $p$ tende a zero che cosa c’entrano il coseno e il seno?
È comunque zero
$p^3/p^2$ è $p$ , dato che $p$ tende a zero che cosa c’entrano il coseno e il seno?
È comunque zero
Prendiamo per esempio $h(x,y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ e studiamone il limite per $(x,y)\to(0,0)$: secondo questo tuo ragionamento, si avrebbe che $h$ ha limite $0$ perché passando in coordinate polari:
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4+y^2}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{\rho^4 \cos^4 \theta + \rho^2 \sin^2 \theta}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho \cos^2 \theta \sin \theta}{\rho^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}=0$$
Tuttavia ciò è falso, perché: se vai al limite lungo la restrizione $y=0$ ottieni che il limite è $0$, ma se vai al limite lungo la restrizione $y=x^2$ ottieni:
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^4}{2x^4}=\frac{1}{2}$$
Dunque il limite non esiste, perché il limite, se esiste, è unico.
Tutto ciò è dovuto al discorso che ti ho fatto prima sulle direzioni: esiste infatti un teorema che, sotto certe condizioni, ti permette il calcolo del limite in coordinate polari, ma una delle ipotesi è che devi maggiorare il modulo della differenza tra la funzione ed il limite $l$ con una funzione $\varphi=\varphi(\rho)$, ossia una funzione dipendente esclusivamente da $\rho$ e non da $\theta$ (che è ciò che ho cercato di dirti negli ultimi messaggi).
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4+y^2}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{\rho^4 \cos^4 \theta + \rho^2 \sin^2 \theta}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\rho \cos^2 \theta \sin \theta}{\rho^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}=0$$
Tuttavia ciò è falso, perché: se vai al limite lungo la restrizione $y=0$ ottieni che il limite è $0$, ma se vai al limite lungo la restrizione $y=x^2$ ottieni:
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^4}{2x^4}=\frac{1}{2}$$
Dunque il limite non esiste, perché il limite, se esiste, è unico.
Tutto ciò è dovuto al discorso che ti ho fatto prima sulle direzioni: esiste infatti un teorema che, sotto certe condizioni, ti permette il calcolo del limite in coordinate polari, ma una delle ipotesi è che devi maggiorare il modulo della differenza tra la funzione ed il limite $l$ con una funzione $\varphi=\varphi(\rho)$, ossia una funzione dipendente esclusivamente da $\rho$ e non da $\theta$ (che è ciò che ho cercato di dirti negli ultimi messaggi).
Ma qui è diverso, per essere zero deve essere diverso da zero il $sen^2theta$, nel caso precedente il denominatore non c’era
Comunque mi ero spiegato male io, avevo saltato qualche passaggio e avevo concluso direttamente che il risultato era zero.
Ora mi è più chiaro
Grazie
Ora mi è più chiaro
Grazie
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