[Limiti] Dimostrazione della "determinatezza" di una forma

[CosenTheta]

Una forma indeterminata è così chiamata perché non è noto a priori il risultato vero e proprio del limite che stiamo calcolando. L'indeterminatezza di una forma si può dimostrare semplicemente trovando due limiti che risultino nella stessa forma ma che abbiano valori differenti. Un esempio con il caso 0/0 è il seguente:

$\lim_{x->0} \frac{\sin(x)}{x} = [\frac{0}{0}] = 1$
$\lim_{x->49} \frac{x - 49}{\sqrt{x} - 7} = [\frac{0}{0}] = 14$

Quello che mi riguarda è la dimostrazione della "determinatezza" di una forma: ad esempio, \(\displaystyle (+\infty) \cdot (+\infty) \) restituisce sempre $\+infty$, a prescindere dal limite che si sta calcolando. Dunque mi chiedo: come si fa a dimostrare questa cosa, visto che non posso seguire lo stesso approccio delle forme indeterminate (dal momento che dovrei provare infiniti limiti che risultino in tale forma)?

Grazie.

[Mephlip]

Si fa con la definizione di limite. Prova a buttare giù una bozza di dimostrazione, così che possiamo controllarla e, eventualmente, correggerla.

[CosenTheta]

Ho provato a ragionare così.

Siano due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ tali che, per $x->x_0$ (supponiamo finito), risultino divergenti. Dunque:

$lim_{x -> x_0} f(x) = +\infty <=> \forall M_1 > 0 \exists \delta_1 > 0 : 0 < |x - x_0| < \delta_1 => f(x) > M_1$

$lim_{x -> x_0} g(x) = +\infty <=> \forall M_2 > 0 \exists \delta_2 > 0 : 0 < |x - x_0| < \delta_2 => g(x) > M_2$

Scelti $M_1$ ed $M_2$, pongo $\delta = \min{\delta_1, \delta_2}$ e $M = M_1M_2$, così da poter dire che se $0 < |x - x_0| < \delta$, allora $f(x)g(x) > M$, ritrovando la definizione di limite infinito per x tendente a un valore finito.

[Mephlip]

Se con "pongo $M=M_1M_2$" intendi dire che usi l'arbitrarietà di $M_1>0$ ed $M_2>0$ affinché il loro prodotto sia un $M>0$ arbitrario prefissato, allora è praticamente giusta a parte un paio di dettagli (nella definizione di limite introduci $x$ ma non lo quantifichi; inoltre, $f$ e $g$ potrebbero non essere definite nello stesso insieme e quindi devi considerare l'intersezione tra i loro domini e un intorno di $x_0$ di semiampiezza $\delta$).

Ti metto sotto spoiler una dimostrazione pulita.

Sia $M>0$ arbitrario. Per ipotesi $f(x) \to +\infty$ per $x \to x_0$, quindi esiste $\delta_M>0$ tale che per ogni $x \in \text{dom}(f) \cap \left((x_0-\delta_M,x_0+\delta_M) \setminus \{x_0\}\right)$ è $f(x)>M$; per ipotesi $g(x) \to +\infty$ per $x \to x_0$, quindi esiste $\delta_1>0$ tale che per ogni $x \in \text{dom}(g) \cap \left((x_0-\delta_1,x_0+\delta_1) \setminus \{x_0\}\right)$ è $g(x)>1$. Posto $\overline{\delta}_M:=\text{min}\{\delta_M,\delta_1\}$, per ogni $x \in \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) \cap \left((x_0-\overline{\delta}_M, x_0+\overline{\delta}_M)\setminus\{x_0\}\right)$ si ha $f(x)g(x)>M$.

[CosenTheta]

Grazie.

[Fioravante Patrone1]

"CosenTheta":Una forma indeterminata è così chiamata perché non è noto a priori il risultato vero e proprio del limite che stiamo calcolando.

Non sono d'accordo. Non è questo il punto. Ciò che è rilevante è che NON si è in grado di sapere se il limite esista e quanto valga utilizzando i teoremi sulla somma, prodotto etc. dei limiti.
Ad esempio, se il numeratore tende a 3 e il denominatore a 5, tu sai che il limite del quoziente c'è e vale 3/5.
Se invece il limite di numeratore e denominatore è 0, non cavi un ragno dal buco usando solo i teoremi sui limiti summenzionati.
OK? Il punto è che i teoremi sui limiti non hanno grip.

"CosenTheta":L'indeterminatezza di una forma si può dimostrare semplicemente trovando due limiti che risultino nella stessa forma ma che abbiano valori differenti.

Questa che menzioni è una importante caratteristica di una forma indeterminata, ma non c'è necessità di una simile dimostrazione. Abbiamo la definizione, e ciò basta.
Casomai, quello che dici (l'esibizione di due esempi con risultati diversi) "dimostra" una cosa interessante, che però non è quello che intendi.
Quello che "dimostra" è che non siamo sciocchini a non accorgersi che c'è un modo generale di determinare la forma indeterminata. Voglio dire: nulla vieta in astratto che una forma sia indeterminata se i teoremi sui limiti non ci aiutano, ma magari siamo stati fessi noi a non capire che, con qualche trucco, in realtà la forma è "determinabile" sempre.
Spero di essermi spiegato...


Un commento al commento di Mephlip.
Giusto non dimenticare i domini delle due funzioni.
Ma non bisogna neanche dimenticare che il punto $x_0$ potrebbe essere di accumulazione per il dominio di $f$ e per il dominio di $g$, senza essere di accumulazione per l'intersezione di questi due domini.
Per capirci, l'insieme $\text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) \cap \left((x_0-\overline{\delta}_M, x_0+\overline{\delta}_M)\setminus\{x_0\}\right)$ può essere vuoto, e allora non ci "dice" molto...
Occorre quindi aggiungere una po' di precisazioni in più (esempio, richiedere ex abrupto che $x_0$ appunto sia di accumulazione per l'intersezione dei due domini).
Poi, boh, uno fa come vuole, ma se gli piace l'unicità del limite deve rassegnarsi a imporre una opportuna condizione.

[Mephlip]

@Fioravante: Certamente! Ne approfitto per farti gli auguri di buone feste, spero che passerai più spesso di qui (alla mia parte intellettuale masochista piace essere bacchettata da te ).