Limiti difficili ?
ciao, ho un dubbio su questo esercizio:
$f(x)=sqrt[(x^2*(x-1))/(x+1)]$ devo calcolare gli asintoti obliqui..
$m=+1$ per x che tende a $+00$ e $m=-1$ per x che tende a $-00$
il problema è trovare $q$.
Io ho fatto
$lim x to +00 [sqrt[(x^2*(x-1))/(x+1)]-x $ e $lim x to -00 [sqrt[(x^2*(x-1))/(x+1)]+x]$ poichè $ m=1$ se tende a $+00$ e $m =-1$ se tende a -00.
come faccio a risolvere questi limiti ? ho provato a razionallizare, poi ho pensato ad esmpio che $lim x to +00 [sqrt[(x^2*(x-1))/(x+1)]+x]$ è asintotico a $x$ per il principio di eliminazione degli infiniti, ma non credo sia giusto.. Se volessi procedere in modo algebrico come devo fare? dividere tutto per $ x$? grazie mille !!
$f(x)=sqrt[(x^2*(x-1))/(x+1)]$ devo calcolare gli asintoti obliqui..
$m=+1$ per x che tende a $+00$ e $m=-1$ per x che tende a $-00$
il problema è trovare $q$.
Io ho fatto
$lim x to +00 [sqrt[(x^2*(x-1))/(x+1)]-x $ e $lim x to -00 [sqrt[(x^2*(x-1))/(x+1)]+x]$ poichè $ m=1$ se tende a $+00$ e $m =-1$ se tende a -00.
come faccio a risolvere questi limiti ? ho provato a razionallizare, poi ho pensato ad esmpio che $lim x to +00 [sqrt[(x^2*(x-1))/(x+1)]+x]$ è asintotico a $x$ per il principio di eliminazione degli infiniti, ma non credo sia giusto.. Se volessi procedere in modo algebrico come devo fare? dividere tutto per $ x$? grazie mille !!
Risposte
Non mi trovo nel calcolo della m. Mi soffermo sul limite per $x->+oo$ tanto stesso discorso vale per l'altro.
$lim_(x->+oo)(sqrt(x^2(x-1)))/(x+1)*1/x => (|x|sqrt(x-1))/(x(x+1))$
poichè $x->+oo$ allora $|x|=x$ quindi:
$lim_(x->+oo)(xsqrt(x-1))/(x(x+1)) = lim_(x->+oo)(sqrt(x-1))/(x+1)->0$
$lim_(x->+oo)(sqrt(x^2(x-1)))/(x+1)*1/x => (|x|sqrt(x-1))/(x(x+1))$
poichè $x->+oo$ allora $|x|=x$ quindi:
$lim_(x->+oo)(xsqrt(x-1))/(x(x+1)) = lim_(x->+oo)(sqrt(x-1))/(x+1)->0$
ciao, anche $x+1$ è sotto radice
Usa il fatto che la tua funzione è asintotica a $|x|$ per $x\to\pm\infty$.
ciao, quindi $lim x to -00 [sqrt[(x^2*(x-1))/(x+1)]+x]$ è ainstotico a $ x$ ? ho provato a fare così ma ilsultato non mi dà..
Ah, scusa, in realtà se fai cosi hai delle forme indeterminate (avevo letto male i valori di $m$ nei due casi). Ti faccio vedere come procedere a $+\infty$: devi calcolare
[tex]$\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{\frac{x^2(x-1)}{x+1}}-x\right]=\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{\sqrt{x^2(x-1)}-x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}$[/tex]
che antirazionalizzando diventa
[tex]$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2(x-1)-x^2(x+1)}{\sqrt{x+1}\left[\sqrt{x^2(x-1)}+x\sqrt{x+1}\right]}=$[/tex]
usando il confronto di infiniti
[tex]$\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^2}{\sqrt{x}\cdot 2x\sqrt{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^2}{2x^2}=-1$[/tex]
Prova per $x\to-\infty$ e vedi cosa accade.
[tex]$\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{\frac{x^2(x-1)}{x+1}}-x\right]=\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{\sqrt{x^2(x-1)}-x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}$[/tex]
che antirazionalizzando diventa
[tex]$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2(x-1)-x^2(x+1)}{\sqrt{x+1}\left[\sqrt{x^2(x-1)}+x\sqrt{x+1}\right]}=$[/tex]
usando il confronto di infiniti
[tex]$\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^2}{\sqrt{x}\cdot 2x\sqrt{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^2}{2x^2}=-1$[/tex]
Prova per $x\to-\infty$ e vedi cosa accade.
ciao , ma perchè al denominatore ottieni $sqrt(x)*xsqrt(x) $ ? grazie mille
Confronto gli infiniti:
[tex]$\sqrt{x+1}\sim x,\qquad \sqrt{x^2(x-1)}\sim \sqrt{x^2\cdot x}=|x|\sqrt{x},\qquad x\sqrt{x-1}\sim x\sqrt{x}$[/tex]
e osservo che, poiché $x\to+\infty$ sarà anche $|x|=x$.
[tex]$\sqrt{x+1}\sim x,\qquad \sqrt{x^2(x-1)}\sim \sqrt{x^2\cdot x}=|x|\sqrt{x},\qquad x\sqrt{x-1}\sim x\sqrt{x}$[/tex]
e osservo che, poiché $x\to+\infty$ sarà anche $|x|=x$.
ciao, e grazie della risposta. ma quindi posso dire $lim x to -00 [sqrt[(x^2*(x-1))/(x+1)]+x]$ è ainstotico a $ x$ ?
scusa è che ho molti dubbi sul'asintoticità..
scusa è che ho molti dubbi sul'asintoticità..
Non proprio. L'essere asintotico significa, in parole povere, avere lo stesso andamento in prossimità di un punto di accumulazione, oppure per $x->oo$, ma dipende sempre dai casi.
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