Limiti di una funzione integrale

[nick_10]

Salve! Ho un esercizio che mi chiede di calcolare i limiti a 0 e a infinito di questa funzione integrale:
$f(x)=\int_{x}^{x+sinx} 1/(log(1+t))dt$ definita $f:(0,+infty)\toRR$

Per il limite a piu infinito avevo pensato di utilizzare il teorema della media integrale, ovvero:
$\int_{x}^{x+sinx} 1/(log(1+t))dt = sinx/(log(1+h_x)$ con $h_x in[x,x+sinx]$
Non sono sicuro ,però, che posso concludere che il limite sia uguale a zero.
Invece per il limite a zero il ragionamento che l'integrale diverge può essere utile (essendo asintotico a $1/t$)?
Grazie in anticipo!!!

[spugna2]

"nick_10":
Per il limite a piu infinito avevo pensato di utilizzare il teorema della media integrale, ovvero:
$\int_{x}^{x+sinx} 1/(log(1+t))dt = sinx/(log(1+h_x)$ con $h_x in[x,x+sinx]$
Non sono sicuro ,però, che posso concludere che il limite sia uguale a zero.

Per concludere puoi dire che $h_x >= min \{ x, x + sin x \} >= x-1$, quindi se $x \rightarrow +oo $, a maggior ragione $h_x -> +oo $, quindi il denominatore va a $+oo $ e la frazione va a $0$; un altro modo (anche se in realtà è praticamente la stessa cosa) è dire che

$h_x >= x-1 \Rightarrow |sin x/{log (1+h_x)}|=|sin x|/{log (1+h_x)}<=|sin x|/log x ->0$.

"nick_10":Invece per il limite a zero il ragionamento che l'integrale diverge può essere utile (essendo asintotico a $1/t$)?

L'integrale diverge se tieni fisso un estremo e fai tendere l'altro a $0$, ma non è il tuo caso (e infatti mi pare che succeda qualcosa di diverso...)

Io ho fatto così: lo sviluppo di Taylor ci dice che, fissato $epsilon >0$, vale $(1-epsilon)t <=log (1+t)<=(1+epsilon)t $ per valori abbastanza piccoli (ma positivi) di $t $, e dato che entrambi gli estremi di integrazione vanno a $0$ da destra, per $x>0$ abbastanza piccolo vale

$int_x^{x+sin x} 1/{ (1+epsilon)t} dt <= int_x^{x+sin x} 1/log (1+t) dt <= int_x^{x+sin x} 1/{(1-epsilon)t} dt$

ma il primo e il terzo integrale si calcolano esplicitamente e valgono $1/{1+-epsilon} [ log(x+sin x)-log x]=1/{1+-epsilon} log (1+{sin x}/x) $, quindi per confronto il limite cercato è compreso tra $1/{1+epsilon} log 2$ e $1/{1-epsilon} log 2$, e per l'arbitrarietà di $epsilon $ è proprio $log 2$

[nick_10]

Grazie mille!!
Quindi il confronto con $1/t$ l'avrei potuto usare soltanto se avessi avuto ad esempio questo
$f(x)=\int_{0}^{x+sinx} 1/log(1+t)dt$ ?