Limiti di successioni semplici

[BHK1]

Studiare i limiti delle successioni:
$(3-14 sqrt(n))/(7 sqrt(n))$
e dimostrarlo usando la definizione;

devo trattarlo come un limite dove n tende a infinito o devo procedere in un atro modo?

[j18eos]

Devi procedere come hai scritto; nelle successioni è sempre sottointeso [tex]n\rightarrow+\infty[/tex]

[roby92100]

"BHK":Studiare i limiti delle successioni:
$(3-14 sqrt(n))/(7 sqrt(n))$
e dimostrarlo usando la definizione;

devo trattarlo come un limite dove n tende a infinito o devo procedere in un atro modo?

si è ovvio che parlando di successioni allora n tende a piu infinito...notando che $ lim_(n -> +oo ) (3-14 sqrt(n))/(7 sqrt(n))=-14/7 $


allora per dimostrare tale uguaglianza con la definizione di limite di una successione dovrai dimostrare che $ AAcc(I) >0 EE del >0 : AA n>n(cc(I)) rarr |an -l|
cioè nel nostro caso che $ |(3-14 sqrt(n))/(7 sqrt(n))+14/7|

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[BHK1]

ok dunque:
con $(5-10sqrt(n))/(5sqrt(n))=-2$

$|(5-10sqrt(n))/(5sqrt(n))+2|
ho due dubbi,
la risoluzione della sucessione è trovare la costante?
devo fare altro dopo l'ultimo passaggio?

[j18eos]

Quale costante? Qual'è l'ultimo passaggio? Non ho capito!:smt017

[BHK1]

l'ultimo passaggio è quello della epsilon e la costante è il $-2$

[roby92100]

"BHK":ok dunque:
con $(5-10sqrt(n))/(5sqrt(n))=-2$

$|(5-10sqrt(n))/(5sqrt(n))+2|
ho due dubbi,
la risoluzione della sucessione è trovare la costante?
devo fare altro dopo l'ultimo passaggio?

certo che devi continuare...devi dimostrare che esiste un intorno circolare di x di raggio epslon...quindi $|(3-14sqrt(n))/(7sqrt(n))-14/7|
quindi $ |(3-14sqrt(n))/(7sqrt(n))-14/7| |(-14n-11sqrt(n))/(7sqrt(n))| { (-14n-11sqrt(n)<7sqrt(n)I),( -14n-11sqrt(n)> -7sqrt(n)I ):} -> { ( -14sqrt(n)<11+3I ),( -14sqrt(n)>11-7I ):} --->{ ( sqrt(n) > (-11/14 -(3I)/14) ),( sqrt(n)>I/2-11/14 ):} $ ora potrò anke avere sbagliato qualke calcolo ma ti sembrerà strano ma si dimostra proprio cosi: dicendo infine che la seconda disequazione soddisfatta per un epslon (I) abbastanza grande è un intorno di piu infinito

[roby92100]

"BHK":ok dunque:
con $(5-10sqrt(n))/(5sqrt(n))=-2$

$|(5-10sqrt(n))/(5sqrt(n))+2|
ho due dubbi,
la risoluzione della sucessione è trovare la costante?
devo fare altro dopo l'ultimo passaggio?

certo che devi continuare...devi dimostrare che esiste un intorno circolare di x di raggio epslon...quindi $|(3-14sqrt(n))/(7sqrt(n))-14/7|
quindi $ |(3-14sqrt(n))/(7sqrt(n))-14/7| |(-14n-11sqrt(n))/(7sqrt(n))| { (-14n-11sqrt(n)<7sqrt(n)I),( -14n-11sqrt(n)> -7sqrt(n)I ):} -> { ( -14sqrt(n)<11+3I ),( -14sqrt(n)>11-7I ):} --->{ ( sqrt(n) > (-11/14 -(3I)/14) ),( sqrt(n)>I/2-11/14 ):} $ ora potrò anke avere sbagliato qualke calcolo ma ti sembrerà strano ma si dimostra proprio cosi: dicendo infine che la seconda disequazione soddisfatta per un epslon (I) abbastanza grande è un intorno di piu infinito

[BHK1]

ho $|(5-10sqrt(n))/(5sqrt(n))+2|
a questo punto devo fare il sistema;
$ { ( 5/(5sqrt(n))I):} $
dove sbaglio?

[BHK1]

up

[j18eos]

Rammentandoti che la definizione di valore assoluto è:

[tex]|x|=\begin{cases}
x\iff x\geq0\\
-x\iff x<0
\end{cases}[/tex]

devi fare i seguenti sistemi:

[tex]\begin{cases}
\frac{5}{5\sqrt n}\geq0\\
\frac{5}{5\sqrt n}<\epsilon
\end{cases}
\cup
\begin{cases}
\frac{5}{5\sqrt n}<0\\
-\frac{5}{5\sqrt n}<\epsilon
\end{cases}[/tex]

[BHK1]

ok, passo sucessivo?

[j18eos]

L'incognita di tali sistemi è la [tex]n[/tex], la parte intera delle soluzioni in [tex]n[/tex] ti determinano la [tex]\ni(\epsilon)[/tex] della definizione di limite; fatto questo l'esercizio è completato!

Se non trovassi la [tex]\nu(\epsilon)[/tex] sono solo 2 le cose: conti errati o limite errato.

[BHK1]

ricapitolando:
ho una successione, facendo tendere l'incognita a +infinito trovo un numero (k).
attraverso la definizione dimostro che $|f(n)-k|0$
a questo punto ottengo un sistema di disequazioni, quella con la parte intera delle soluzioni in $n$ è la soluzione.
come trovo quella con la parte intera?

[j18eos]

Dati gl'intervalli soluzione del sistema, la parte intera degli estremi di tali intervalli la si indica mettendo i numeri trovati tra parentesi quadre; ti ricordo che tali quantità sono funzioni di [tex]\epsilon[/tex]

[BHK1]

riguardando il valore assoluto non ho capito una cosa:
se $|x|$ da $x$ quando $x>=0$ e $-x$ quando $x<0$

posso avere $|5/(5sqrtn)|$ ma se la n va da 1 a infinito, perchè ipotizzo che possa essere negativo?

[j18eos]

In tale caso è inutile, ma in generale no!

[BHK1]

ok poi metti a sistema $5/(5sqrt n)>=0$ con $5/sqrt n non riesco a capire il perchè

[j18eos]

Guarda la definizione di valore assoluto, non te l'ho richiamata così!

EDIT: Forse ho sbagliato a scrivere: ci manca il 5 sotto! Tra l'altro esemplificabile con quello di sopra.

[BHK1]

quindi semplificando ho a sistema
$ { ( 1/sqrt(n)>=0 ),( 1/sqrt(n) giusto?

[j18eos]

Ora ci siamo!