Limiti di successioni ricorsive
Salve a tutti...
Sto cercando di imparare a trovare i limiti delle successioni ricorsive, ma a volte mi blocco.
Ho capito che bisogna verificare se la successione è monotona e limitata (per induzione - se ci sono altri metodi non lo so, comunque vorrei essere in grado di capire bene e sfruttare questo) e da lì individuare il limite, che corrisponde con il sup o l'inf
Tuttavia non so come procedere con
$a_{n+1}=sina_{n}$
e
$a_{1}=2$
perché la fuzione seno non è monotona (giusto?)
Comunque il limite è 0
e anche
$a_{1}=1$ e $a_{n+1}=-\sqrt{2-a_{n}}$
la cui monotnia, se c'è, non so dimostrare (per induzione) - e se non c'è non so come proseguire con il limite, che sarebbe -1
Come districarsi per capire se una succ è monotona o no!
grazie
Sto cercando di imparare a trovare i limiti delle successioni ricorsive, ma a volte mi blocco.
Ho capito che bisogna verificare se la successione è monotona e limitata (per induzione - se ci sono altri metodi non lo so, comunque vorrei essere in grado di capire bene e sfruttare questo) e da lì individuare il limite, che corrisponde con il sup o l'inf
Tuttavia non so come procedere con
$a_{n+1}=sina_{n}$
e
$a_{1}=2$
perché la fuzione seno non è monotona (giusto?)
Comunque il limite è 0
e anche
$a_{1}=1$ e $a_{n+1}=-\sqrt{2-a_{n}}$
la cui monotnia, se c'è, non so dimostrare (per induzione) - e se non c'è non so come proseguire con il limite, che sarebbe -1
Come districarsi per capire se una succ è monotona o no!
grazie
Risposte
Si ha $a_2= sin(a_1)=sin(2)in (0,1)$.
Inoltre, in generale, $x in (0,1) \implies sin(x) in (0,1)$.
Questo significa che per ogni $n >=2$ si ha $a_n in (0,1)$.
Dato che per ogni $x>0$ si ha $sin(x)
Dunque la successione $a_n$ è decrescente (strettamente).
Pertanto ammette limite, e questo limite $l$ appartiene all'intervallo $[0,1)$.
Deve valere $l= lim_{n-> +oo}a_n= lim_{n->+oo}a_{n+1}= lim_{n->+oo}sin(a_n)=sin(l)$,
e questo è possibile solo se $l=0$. Fine
Inoltre, in generale, $x in (0,1) \implies sin(x) in (0,1)$.
Questo significa che per ogni $n >=2$ si ha $a_n in (0,1)$.
Dato che per ogni $x>0$ si ha $sin(x)
Dunque la successione $a_n$ è decrescente (strettamente).
Pertanto ammette limite, e questo limite $l$ appartiene all'intervallo $[0,1)$.
Deve valere $l= lim_{n-> +oo}a_n= lim_{n->+oo}a_{n+1}= lim_{n->+oo}sin(a_n)=sin(l)$,
e questo è possibile solo se $l=0$. Fine
Grazie, è chiarissimo, ho capito! Il ragionamento che mi mancava sta proprio nelle prime due righe...
Ma per l'altra?!
Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Ma per l'altra?!
Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Consideriamo la successione definita da:
\[
\begin{cases}
a_{n+1} = - \sqrt{2 - a_n}\\
a_1 = 1\; .
\end{cases}
\]
Visto che \(a_2=-1>-2\), \(a_3=-\sqrt{3}> -2\), \(a_4=-\sqrt{2+\sqrt{3}}> -2\), mi faccio dell'idea che \(a_n> -2\) per \(n\geq 2\); ed infatti se suppongo \(a_n> -2\), trovo:
\[
-a_n< 2\ \Rightarrow\ \sqrt{2-a_n} < \sqrt{2+2}=2\ \Rightarrow\ a_{n+1}=-\sqrt{2-a_n} > -2\; ,
\]
e l'Induzione fa il resto.
Inoltre \(a_3,a_4< -1\), quindi ipotizzo che \(a_n< -1\) per \(n\geq 3\); ed infatti supponendo che \(a_n<-1\) si ha:
\[
-a_n>1\ \Rightarrow\ \sqrt{2-a_n} > \sqrt{2-1} =1\ \Rightarrow\ a_{n+1}=-\sqrt{2-a_n}<-1\; ,
\]
ed anche in questo caso l'Induzione fa la sua magia.
Pertanto abbiamo \(-2
Dato che \(a_4
-a_{n+1}>-a_n\ \Rightarrow\ \sqrt{2-a_{n+1}} > \sqrt{2-a_n}\ \Rightarrow\ a_{n+2}=-\sqrt{2-a_{n+1}} < -\sqrt{2-a_n} = a_{n+1}\; ,
\]
e l'Induzione funziona ancora.
Conseguentemente, la successione \((a_n)\) è limitata e monotona, perciò convergente.
Detto \(l\) il suo limite, si ha \(-2\leq l<-1\) e:
\[
l=-\sqrt{2-l}
\]
da cui si ricava \(l^2+l-2=0\) da cui \(l=-2\).
\[
\begin{cases}
a_{n+1} = - \sqrt{2 - a_n}\\
a_1 = 1\; .
\end{cases}
\]
Visto che \(a_2=-1>-2\), \(a_3=-\sqrt{3}> -2\), \(a_4=-\sqrt{2+\sqrt{3}}> -2\), mi faccio dell'idea che \(a_n> -2\) per \(n\geq 2\); ed infatti se suppongo \(a_n> -2\), trovo:
\[
-a_n< 2\ \Rightarrow\ \sqrt{2-a_n} < \sqrt{2+2}=2\ \Rightarrow\ a_{n+1}=-\sqrt{2-a_n} > -2\; ,
\]
e l'Induzione fa il resto.
Inoltre \(a_3,a_4< -1\), quindi ipotizzo che \(a_n< -1\) per \(n\geq 3\); ed infatti supponendo che \(a_n<-1\) si ha:
\[
-a_n>1\ \Rightarrow\ \sqrt{2-a_n} > \sqrt{2-1} =1\ \Rightarrow\ a_{n+1}=-\sqrt{2-a_n}<-1\; ,
\]
ed anche in questo caso l'Induzione fa la sua magia.
Pertanto abbiamo \(-2
Dato che \(a_4
-a_{n+1}>-a_n\ \Rightarrow\ \sqrt{2-a_{n+1}} > \sqrt{2-a_n}\ \Rightarrow\ a_{n+2}=-\sqrt{2-a_{n+1}} < -\sqrt{2-a_n} = a_{n+1}\; ,
\]
e l'Induzione funziona ancora.
Conseguentemente, la successione \((a_n)\) è limitata e monotona, perciò convergente.
Detto \(l\) il suo limite, si ha \(-2\leq l<-1\) e:
\[
l=-\sqrt{2-l}
\]
da cui si ricava \(l^2+l-2=0\) da cui \(l=-2\).
Grazie!! Mi sei stato utilissimo! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo