Limiti di successioni: problemi nell'applicare definizione
Salve a tutti, questo è il mio primo post... studio informatica e sto preparando l'esame di analisi matematica 1.
Ho cercato nel forum, ma non ho trovato qualcosa che mi chiarisse le idee, quindi ho deciso di scrivere questo post. Si vede che sono piuttosto confuso... Spero che qualcuno trovi la pazienza per darmi una mano.
Il mio problema è nella verifica dei limiti di successioni, fatto sta che mi incarto ogni tre minuti. Vorrei sapere se a vostro giudizio sbaglio qualcosa nel seguente procedimento o se il procedimento è migliorabile.
Da quello che ho capito un procedimento risolutivo per verificare un limite di una successione potrebbe essere il seguente:
Secondo la definizione di limite di una successione si dovrebbe avere:
$\lim_{n \to \infty}a_n = l \Leftrightarrow | a_n -l | < \epsilon $; (1)
dove:
$ n \in \NN$; $\epsilon \in RR_0^+$; $l \in RR$
ossia se esiste un $k_\epsilon$ per cui risulta che (1) è verificata $AAn>k_\epsilon$ dove $k_\epsilon \in RR$.
Quindi, se il limite è $l$, troverò un intervallo in cui prendere $n$ perchè la (1) sia vera, altrimenti, da quello che ho capito, otterrò un assurdo del tipo $1=0$ o l'insieme vuoto o qualcosa del genere.
Prendiamo ora un esempio:
$\lim_{n \to \infty} n/(2n+5)=1/2$; (2)
Se ci proponiamo di verificare la (2) dobbiamo applicare la definizione di limite: in pratica risolviamo la disequazione
$| n/(2n+5) -1/2|<\epsilon$;
ottenendo quindi il sistema:
$\{(-5/(4n+10) <\epsilon),(5/(4n+10) <\epsilon):}$;
svolgendo i calcoli arrivo ad un certo punto in cui:
$\{(\{(n> -5/(4\epsilon) -5/2),(n> -5/2):}),(\{(n> 5/(4\epsilon) -5/2),(n> -5/2):}):}$;
per cui ottengo come risultato che la (2) è verificata $AA n>k_\epsilon$ dove $k_\epsilon = 5/(4\epsilon) -5/2$.
Se ho ben capito, poichè ho trovato che esiste un intervallo in cui $n$ esiste, la (2) è vera, e ciò è possibile perchè facendo l'intersezione delle soluzioni di ciascun sistema non ottengo l'insieme vuoto.
Ora rovesciamo il ragionamento: diciamo che vogliamo verificare se
$\lim_{n \to \infty} n/(2n+5)=2$; (3)
visto che abbiamo appena detto che il limite $l$ è$1/2$ dovremmo giungere ad un assurdo applicando il medesimo procedimento. Quindi impostiamo la nostra disequazione:
$| n/(2n+5) -2|<\epsilon$;
svolgiamo i calcoli e giungiamo ad avere (salvo errori di calcolo miei):
$\{ (\{(n>( -5(\epsilon+2))/(3+2\epsilon) ),( n> -5/2) :}) , (\{(n<( 5(\epsilon-2))/(3-2\epsilon)),(n> -5/2):}) :}$
dalla primo sottosistema ottengo che $n> -5/2$ e dal secondo sottosistema ottengo $falso$ in quanto $n$ dovrebbe essere minore di un numero $k_\epsilon$ sempre negativo quale che sia $\epsilon$ e in più ottengo che $ {n<( 5(\epsilon-2))/(3-2\epsilon)} nn {n> -5/2 } = \emptyset $ , e quindi la (3) è $falsa$...
C'è qualcosa che mi sfugge?
Dovrei verificare anche quali valori di $\epsilon$ sono ammissibili?
Ho cercato nel forum, ma non ho trovato qualcosa che mi chiarisse le idee, quindi ho deciso di scrivere questo post. Si vede che sono piuttosto confuso... Spero che qualcuno trovi la pazienza per darmi una mano.
Il mio problema è nella verifica dei limiti di successioni, fatto sta che mi incarto ogni tre minuti. Vorrei sapere se a vostro giudizio sbaglio qualcosa nel seguente procedimento o se il procedimento è migliorabile.
Da quello che ho capito un procedimento risolutivo per verificare un limite di una successione potrebbe essere il seguente:
Secondo la definizione di limite di una successione si dovrebbe avere:
$\lim_{n \to \infty}a_n = l \Leftrightarrow | a_n -l | < \epsilon $; (1)
dove:
$ n \in \NN$; $\epsilon \in RR_0^+$; $l \in RR$
ossia se esiste un $k_\epsilon$ per cui risulta che (1) è verificata $AAn>k_\epsilon$ dove $k_\epsilon \in RR$.
Quindi, se il limite è $l$, troverò un intervallo in cui prendere $n$ perchè la (1) sia vera, altrimenti, da quello che ho capito, otterrò un assurdo del tipo $1=0$ o l'insieme vuoto o qualcosa del genere.
Prendiamo ora un esempio:
$\lim_{n \to \infty} n/(2n+5)=1/2$; (2)
Se ci proponiamo di verificare la (2) dobbiamo applicare la definizione di limite: in pratica risolviamo la disequazione
$| n/(2n+5) -1/2|<\epsilon$;
ottenendo quindi il sistema:
$\{(-5/(4n+10) <\epsilon),(5/(4n+10) <\epsilon):}$;
svolgendo i calcoli arrivo ad un certo punto in cui:
$\{(\{(n> -5/(4\epsilon) -5/2),(n> -5/2):}),(\{(n> 5/(4\epsilon) -5/2),(n> -5/2):}):}$;
per cui ottengo come risultato che la (2) è verificata $AA n>k_\epsilon$ dove $k_\epsilon = 5/(4\epsilon) -5/2$.
Se ho ben capito, poichè ho trovato che esiste un intervallo in cui $n$ esiste, la (2) è vera, e ciò è possibile perchè facendo l'intersezione delle soluzioni di ciascun sistema non ottengo l'insieme vuoto.
Ora rovesciamo il ragionamento: diciamo che vogliamo verificare se
$\lim_{n \to \infty} n/(2n+5)=2$; (3)
visto che abbiamo appena detto che il limite $l$ è$1/2$ dovremmo giungere ad un assurdo applicando il medesimo procedimento. Quindi impostiamo la nostra disequazione:
$| n/(2n+5) -2|<\epsilon$;
svolgiamo i calcoli e giungiamo ad avere (salvo errori di calcolo miei):
$\{ (\{(n>( -5(\epsilon+2))/(3+2\epsilon) ),( n> -5/2) :}) , (\{(n<( 5(\epsilon-2))/(3-2\epsilon)),(n> -5/2):}) :}$
dalla primo sottosistema ottengo che $n> -5/2$ e dal secondo sottosistema ottengo $falso$ in quanto $n$ dovrebbe essere minore di un numero $k_\epsilon$ sempre negativo quale che sia $\epsilon$ e in più ottengo che $ {n<( 5(\epsilon-2))/(3-2\epsilon)} nn {n> -5/2 } = \emptyset $ , e quindi la (3) è $falsa$...
C'è qualcosa che mi sfugge?
Dovrei verificare anche quali valori di $\epsilon$ sono ammissibili?
Risposte
e' giusto.
A volte puo' aiutare ricordarsi che $\epsilon$ deve essere positivo (perche' magari si trovano soluzioni per $\epsilon<0$ che vanno escluse)
A volte puo' aiutare ricordarsi che $\epsilon$ deve essere positivo (perche' magari si trovano soluzioni per $\epsilon<0$ che vanno escluse)
grazie mille! 
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