Limiti di successioni e convergenza delle serie
Ciao a tutti,
sto risolvendo un esecizio che mi chiede di verificare il comportamento (converge o diverge?) di questa serie numerica $\sum_{k=1}^infty (n^sqrt(n))/(2^n) $
Io ho quindi iniziato a risolvere il limite
$\lim_{n \to \infty}(n^sqrt(n))/(2^n)$
solo che non riesco ad andare avanti... Come posso eliminare la forma indeterminata e risolverlo più facilmente?
C'è anche un altro limite in cui non riesco a eliminare la forma indeterminata
$\lim_{n \to \infty}(n*log(n(e^(1/n)-1)))$
Potreste darmi qualche consiglio? grazie mille...
sto risolvendo un esecizio che mi chiede di verificare il comportamento (converge o diverge?) di questa serie numerica $\sum_{k=1}^infty (n^sqrt(n))/(2^n) $
Io ho quindi iniziato a risolvere il limite
$\lim_{n \to \infty}(n^sqrt(n))/(2^n)$
solo che non riesco ad andare avanti... Come posso eliminare la forma indeterminata e risolverlo più facilmente?
C'è anche un altro limite in cui non riesco a eliminare la forma indeterminata
$\lim_{n \to \infty}(n*log(n(e^(1/n)-1)))$
Potreste darmi qualche consiglio? grazie mille...
Risposte
"Fravilla":
Ciao a tutti,
sto risolvendo un esecizio che mi chiede di verificare il comportamento (converge o diverge?) di questa serie numerica $\sum_{k=1}^infty (n^{sqrt(n))/(2^n)) $
Io ho quindi iniziato a risolvere il limite
$\lim_{n \to \infty}(n^{sqrt(n))/(2^n))$
solo che non riesco ad andare avanti... Come posso eliminare la forma indeterminata e risolverlo più facilmente?
Prova a vedere $(n^sqrtn)/2^n$ come $(n/2^sqrtn)^sqrtn$. Fatto ciò c'è un metodo standard per procedere. Seguendolo giungi alla soluzione in fretta. Fammi sapere se hai problemi !
avevo già provato a vedere $n^sqrt(n)/2^n$ come $(n/2^sqrt(n))^sqrt(n)$ e poi per dimostrare che converge volevo usare il criterio della radice, ma non so bene come applicarlo a questo contesto. Potresti farmi capire meglio come devo procedere? Oppure è preferibile spezzare il tutto in due successioni $a_n$ e$b_n$ e vedere come si comporta il limite?
@Fravilla: Prova a postare qualche passaggio, così capiamo dove ti blocchi.
Per verificare se una serie è convergente o divergente devo verificare se la successione ad essa associata è un infinitesimo. Allora faccio
$\lim_{n \to \infty}(n/2^sqrt(n))^sqrt(n)$
Per risolvere questo limite ho provato ad usare il limite notevole $\lim_{n \to \infty}(A^n-1)/n=log A$ e quindi mi viene che
$\lim_{n \to \infty}((sqrt(n)*sqrt(n))/(2^sqrt(n)-1+1))^sqrt(n)$
che sarà uguale a
$\lim_{n \to \infty}(sqrt(n)/log2)^sqrt(n)$ a questo punto però non riesco più ad andare avanti perchè comunque mi si ripresenta una nuova forma indeterminata...
$\lim_{n \to \infty}(n/2^sqrt(n))^sqrt(n)$
Per risolvere questo limite ho provato ad usare il limite notevole $\lim_{n \to \infty}(A^n-1)/n=log A$ e quindi mi viene che
$\lim_{n \to \infty}((sqrt(n)*sqrt(n))/(2^sqrt(n)-1+1))^sqrt(n)$
che sarà uguale a
$\lim_{n \to \infty}(sqrt(n)/log2)^sqrt(n)$ a questo punto però non riesco più ad andare avanti perchè comunque mi si ripresenta una nuova forma indeterminata...
Io ho provato a svolgere il secondo.
quella serie io la vedo come:
$n*log(n)+n*log(e^(1/n)-1)$
se si fa il limite per $n->+oo$
per il primo è $+oo$ e per il secondo non esiste perchè $log(0)$ non si può fare, l'argomento deve essere $>0$
dunque considerando solo il primo limite che è $+oo$, possiamo dire che la serie diverge.
Aspetta conferma da chi ne sa più di me, ciao.
quella serie io la vedo come:
$n*log(n)+n*log(e^(1/n)-1)$
se si fa il limite per $n->+oo$
per il primo è $+oo$ e per il secondo non esiste perchè $log(0)$ non si può fare, l'argomento deve essere $>0$
dunque considerando solo il primo limite che è $+oo$, possiamo dire che la serie diverge.
Aspetta conferma da chi ne sa più di me, ciao.
il secondo limite era semplicemente il calcolo di un limite senza dover verificare se la serie diverge o converge. Il risultato del limite dovrebbè essere 1, a me invece continuano a venire sempre indeterminazioni...
$n*log(n)$ = $(log(x))/(1/n)$
faccio de hopital e viene:
$1-(log(n))/(n)$
quindi facendo il limite per $n->+oo$
$(log(x))/(x)$ è $0$
e ti trovi $1$
(sperando che sia così$
faccio de hopital e viene:
$1-(log(n))/(n)$
quindi facendo il limite per $n->+oo$
$(log(x))/(x)$ è $0$
e ti trovi $1$
(sperando che sia così$
quella è senza dubbio la via migliore solo che teoricamente non potrei usarlo il teorema di de hopital
si, infatti è vero che per le successioni non 'dovrebbe' essere applicabile il teorema di de hopital, ma se volessimo fare una
restrizioni alle $x$, si.
A posto di $n$ si potrebbe mettere $x$ e poi dici che hai fatto una restrizione, se per la restrizione c'è il limite, allora vale anche
generalizzando ad $n$
aspettiamo comunque chiarimenti 'piu precisi' dagli esperti
ciao.
restrizioni alle $x$, si.
A posto di $n$ si potrebbe mettere $x$ e poi dici che hai fatto una restrizione, se per la restrizione c'è il limite, allora vale anche
generalizzando ad $n$
aspettiamo comunque chiarimenti 'piu precisi' dagli esperti
ciao.
"Fravilla":
avevo già provato a vedere $n^sqrt(n)/2^n$ come $(n/2^sqrt(n))^sqrt(n)$ e poi per dimostrare che converge volevo usare il criterio della radice, ma non so bene come applicarlo a questo contesto. Potresti farmi capire meglio come devo procedere? Oppure è preferibile spezzare il tutto in due successioni $a_n$ e$b_n$ e vedere come si comporta il limite?
Una volta scritto $n^sqrt(n)/2^n$ come $(n/2^sqrt(n))^sqrt(n)$ passi alla forma esponenziale e ottieni $e^(sqrtn*log(n/2^sqrtn))$ che tende a $0$. (L'argomento del logaritmo tende a zero, quindi il logaritmo tende a $-oo$. Il tutto è poi moltiplicato per $sqrtn$ che non sposta le cose) . Il passaggio all'esponenziale è il metodo standard con cui procedere di cui ti parlavo e te l'ho segnalato perchè ti tornerà utile. Si applica per risolvere forme di indeterminazione del tipo "$1^(oo)$". Nel caso in esame in realtà non serve sprecarsi a usarlo perchè $n/2^sqrt(n)$ tende a zero, per cui non si ha forma di indeterminazione e il limite è zero.
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