Limiti di successioni
Sul mio eserciziario di Analisi sono svolti due limiti di successioni che non riesco a capire, quindi mi appello a voi:
$lim_(n->+infty) (1+2+3+...+n)/ n^2 = lim_(n->+infty) (n(n+1))/(2*n^2)=1/2$
$lim_(n->+infty) ((n+1)^6-(n-1)^6)/n^5 = lim_(n->+infty) (12*n^5)/n^5= 12$
Per il primo limite a me veniva zero dopo aver raccolto a numeratore $n$, ma deduco fosse sbagliato. Perchè? Comunque potreste spiegarmi come si giustificano quelle uguaglianze?
$lim_(n->+infty) (1+2+3+...+n)/ n^2 = lim_(n->+infty) (n(n+1))/(2*n^2)=1/2$
$lim_(n->+infty) ((n+1)^6-(n-1)^6)/n^5 = lim_(n->+infty) (12*n^5)/n^5= 12$
Per il primo limite a me veniva zero dopo aver raccolto a numeratore $n$, ma deduco fosse sbagliato. Perchè? Comunque potreste spiegarmi come si giustificano quelle uguaglianze?
Risposte
Forse quello che ti manca per capire il primo esercizio è la seguente formula, utile per calcolare la somma dei numeri da 1 fino ad n:
$1+2+3+...+n = (n^2+n)/2$
Per quanto riguarda il secondo invece puoi fare una breve considerazione sui termini di grado maggiore al numeratore, oppure se preferisci svolgere le potenze, però essendo di sesto grado è un pò peso..
vedi se ti posso essere stato d aiuto...
$1+2+3+...+n = (n^2+n)/2$
Per quanto riguarda il secondo invece puoi fare una breve considerazione sui termini di grado maggiore al numeratore, oppure se preferisci svolgere le potenze, però essendo di sesto grado è un pò peso..
vedi se ti posso essere stato d aiuto...
"Lucky91":
Per il primo limite a me veniva zero dopo aver raccolto a numeratore $n$, ma deduco fosse sbagliato. Perchè? Comunque potreste spiegarmi come si giustificano quelle uguaglianze?
http://www.matematicamente.it/forum/limite-di-succ-con-fattoriale-t65950.html
"Ulyx3s":
Forse quello che ti manca per capire il primo esercizio è la seguente formula, utile per calcolare la somma dei numeri da 1 fino ad n:
$1+2+3+...+n = (n^2+n)/2$
Sapete dirmi come si arriva a dire ciò?? Comunque grazie mille ad entrambi per le risposte tempestive ed esaustive. Gentilissimi come sempre|
Se non sbaglio è la classica favoletta del giovane Gauss...
Comunque, per provare la validità della formula, si può usare l'induzione.
Comunque, per provare la validità della formula, si può usare l'induzione.
"Seneca":
Se non sbaglio è la classica favoletta del giovane Gauss...
Comunque, per provare la validità della formula, si può usare l'induzione.
classica favoletta?
...
"Ma.Gi.Ca. D":
classica favoletta?
http://www.pattinaggiobellusco.com/dati/induzione.pdf
Seconda parte della prima pagina.
"Seneca":
[quote="Ma.Gi.Ca. D"]
classica favoletta?
http://www.pattinaggiobellusco.com/dati/induzione.pdf
Seconda parte della prima pagina.
[/quote]il mio libro (Marcellini-Sbordone) lo riporta come cosa reale
...
Bisogna essere sempre un po' scettici quando si guarda agli aneddoti riguardanti Gauss, secondo me.
"Lucky91":
Sapete dirmi come si arriva a dire ciò??
Intuitivamente... [tex]\displaystyle \sum_0^n i =...[/tex] la puoi scrivere così, mettendo i numeri da [tex]1[/tex] a [tex]n[/tex] in due righe:
[tex]\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 & \dots & n-2 & n-1 & n \\
n & n-1 & n-2 & n-3 & \dots & 3 & 2 & 1
\end{matrix}[/tex]
Sommando per colonne vedi che ottieni sempre [tex]n+1[/tex], per un totale di [tex]n[/tex] colonne, dunque [tex]n\cdot(n+1)[/tex] rappresenta la somma dei primi [tex]n[/tex] numeri presi due volte.
Dividi per due
Grazie a tutti per l'aiuto!!! Massi sei fantastico!! 
Whenever you want, Lady
Un modo per accelerare la risoluzione del secondo è ricordare la formula del Binomio di Newton.
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomiale
Ovviamente i termini di grado massimo si semplificano, e con un semplice conto determini i coefficienti di grado $5$..
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomiale
Ovviamente i termini di grado massimo si semplificano, e con un semplice conto determini i coefficienti di grado $5$..
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