Limiti di successioni!
Ciao Ragazz!!:) sono bloccato con questo limite: lim n->inf (2^2^n)/(n^n) secondo walfromalpha questo limite diverge all'infinito, io sto provando da tempo a dimostrarlo utilizzando il criterio dell rapporto poiché mi serve il risultato per il calcolo altri limiti ma mi torna sempre che il limite debba convergere a zero. qualcuno di ha idea di dove io sbaglio?!
Risposte
Ciao, benvenuto.
Per i prossimi argomenti cerca di usare le formule del forum, c'è una guida.
Se non ho capito male il limite che proponi è il seguente
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{2^{2^n}}{n^n}$$
Io proverei a scriverlo così
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{2^{2^n}}{n^n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{\ln 2^{2^n}}}{e^{\ln n^n}}=\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{2^n\ln 2}}{e^{n\ln n}}=\lim_{n\to+\infty} e^{2^n\ln2-n\ln n}$$
A questo punto bisogna capire chi domina all'esponente: per capirlo, puoi procedere applicando appunto il criterio del rapporto alla successione $a_n:=\frac{n\lnn}{2^n\ln2}$ (o, indistintamente, applicandolo a $b_n:=\frac{2^n\ln2}{n\lnn}$).
Per i prossimi argomenti cerca di usare le formule del forum, c'è una guida.
Se non ho capito male il limite che proponi è il seguente
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{2^{2^n}}{n^n}$$
Io proverei a scriverlo così
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{2^{2^n}}{n^n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{\ln 2^{2^n}}}{e^{\ln n^n}}=\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{2^n\ln 2}}{e^{n\ln n}}=\lim_{n\to+\infty} e^{2^n\ln2-n\ln n}$$
A questo punto bisogna capire chi domina all'esponente: per capirlo, puoi procedere applicando appunto il criterio del rapporto alla successione $a_n:=\frac{n\lnn}{2^n\ln2}$ (o, indistintamente, applicandolo a $b_n:=\frac{2^n\ln2}{n\lnn}$).
Ciao Youssef92,
Per quanto mi secchi ammetterlo, ha ragione WolframAlpha:
$ \lim_{n\to+\infty} \frac{2^{2^n}}{n^n} = +\infty $
"Youssef92":
secondo WolframAlpha questo limite diverge all'infinito
Per quanto mi secchi ammetterlo, ha ragione WolframAlpha:
$ \lim_{n\to+\infty} \frac{2^{2^n}}{n^n} = +\infty $
"Mephlip":
Ciao, benvenuto.
Per i prossimi argomenti cerca di usare le formule del forum, c'è una guida.
Se non ho capito male il limite che proponi è il seguente
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{2^{2^n}}{n^n}$$
Io proverei a scriverlo così
$ $$\lim_{n\to+\infty} \frac{2^(n+1)\ln2-(n+1)\ln (n+1)}{2^n\ln2-n\ln n}=2>1 $ \frac{2^{2^n}}{n^n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{\ln 2^{2^n}}}{e^{\ln n^n}}=\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{2^n\ln 2}}{e^{n\ln n}}=\lim_{n\to+\infty} e^{2^n\ln2-n\ln n}$$
A questo punto bisogna capire chi domina all'esponente: per capirlo, puoi procedere applicando appunto il criterio del rapporto alla successione $a_n:=\frac{n\lnn}{2^n\ln2}$ (o, indistintamente, applicandolo a $b_n:=\frac{2^n\ln2}{n\lnn}$).
Ciao Grazie per il benvenuto. si hai capito benissimo ed il tuo suggerimento è stato molto utile per risolvere questo problema ti ringrazio tanto.
ho proceduto come segue:
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{(2^(n+1))\ln2-(n+1)\ln (n+1)}{2^n\ln2-n\ln n}=2>1.$$
deduco che poiché il risultato è maggiore di 1 allora il limite del rapporto di partenza è +infinito.
spero di non aver commesso errori e grazie di nuovo.
"pilloeffe":
Ciao Youssef92,
[quote="Youssef92"]secondo WolframAlpha questo limite diverge all'infinito
Per quanto mi secchi ammetterlo, ha ragione WolframAlpha:
$ \lim_{n\to+\infty} \frac{2^{2^n}}{n^n} = +\infty $[/quote]
si lo so è impeccabile WALL XD.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo