Limiti di successioni

[manuelasforza]

Buongiorno ragazzi,
qualcuno di voi mi può spiegare perché questa successione tende a + infinito e non a 1, risultato a cui arrivo io raccogliendo sia al nominatore che al denominatore $n^2$
$ lim
n->oo ((n^2+n)/(n^2-n+1))^(n^2) $

Grazie a tutti,
Manuela

[billyballo2123]

Puoi scrivere la tua successione come
\[
e^{n^2\ln\frac{n^2+n}{n^2-n+1}}.
\]
Se mostriamo che $n^2\ln\frac{n^2+n}{n^2-n+1}\to+\infty$, allora l'intera successione tende a $+\infty$.
\[
n^2\ln\frac{n^2+n}{n^2-n+1}=n^2\ln\bigg[1+\bigg(\frac{n^2+n}{n^2-n+1}-1\bigg)\bigg]\sim n^2\bigg(\frac{n^2+n}{n^2-n+1}-1\bigg) \\
=n^2\bigg(\frac{n^2+n-n^2+n-1}{n^2-n+1}\bigg)=n^2\bigg(\frac{2n-1}{n^2-n+1}\bigg)=\frac{2n^3-n^2}{n^2-n+1}\to \infty.
\]

[francicko]

Intanto diciamo che ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata $1^(infty)$, per risolvere l'indeterminazione e poter calcolare il limite dobbiamo ricondurci ad una forma del tipo $lim_(n->infty)(1+1/f (n))^(f (n))=e $ dove $lim_(n->infty)f (n )=0$, ritornando al nostro limite avremo:
$lim_(n->infty)((n^2+n)/(n^2-n+1))^(n^2) $ $=lim ((n^2+n+n-n+1-1)/(n^2-n+1))^(n^2) $ $=lim ((n^2-n+1+n+n-1)/(n^2-n+1))^(n^2) $ $=lim ((n^2-n+1)/(n^2-n+1)+(2n-1)/(n^2-n+1))^(n^2) $ $=lim (1+(2n-1)/(n^2-n+1))^(n^2) $, ma per $n->infty $ si ha $(2n-1)/(n^2-n+1)~(2n)/(n^2)~2/n $, e sostituendo avremo $lim_(n->infty)(1+2/n)^(n^2 ) $ $=lim ((1+2/n)^(n/2 ))^(2n) $ $=lim_(n->infty) e^(2n)=e^(infty)=infty $, sapendo che limite notevole $lim_(n->infty)(1+2/n)^(n/2)=e $
Se al posto del limite che hai proposto avessi avuto $lim_(n->infty)((n^2+n)/(n^2-n+1))^n $ allora diventava $lim_(n->infty)((1+2/n)^(n/2))^2=e^2$