Limiti di successione

[erika861]

Ciao a tutti non riesco a capire questo limite:

$\lim_{n \to \infty}(2^n-n^2)^4/(4^n-n^4)^2$

io ho ragionato nel seguente modo:


$\lim_{n \to \infty}((2^n)^4-(n^2)^4)/((4^n)^2-(n^4)^2)$

$\lim_{n \to \infty}(2^(4n)-n^8)/(4^(2n)-n^8)$ [semplifico 2^(4n) con 4^(2n)]

$\lim_{n \to \infty}(1-n^2/2^n)/(1-n^4/4^n)$

e ora come dovrei procedere?????


Altro dubbio su un altro limite:

$\lim_{n \to \infty}((sqrt(n^2+n)-sqrt(n^2-2n))/n)$

facendo tutti i vari calcoli arrivo ad avere:

$\lim_{n \to \infty}((-n)/(n (sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-2n))))$

anche qui mi blocco....

[fu^2]

sul secondo: a vedere l'ultimo passaggio io semplificherei numeratore con denominatore per continuare

[MaMo2]

Nel primo la scomposizione che hai fatto è sbagliata. Si ha:

$lim_(n->oo)(2^n-n^2)^4/((2^n+n^2)(2^n-n^2))^2=lim_(n->oo)((2^n-n^2)/(2^n+n^2))^2=lim_(n->oo)(1-(2n^2)/(2^n+n^2))^2=1$

Nel secondo invece hai sbagliato qualche calcolo perchè viene:

$lim_(n->oo)3/(sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-2n))=0$

[erika861]

Scusa Mamo allora nel primo limite il prof procede nel seguente modo:

$\lim_{n \to \infty}((2^n-n^2)^4)/((4^n-n^4)^2)$

$\lim_{n \to \infty}(2^4n(1-n^2/2^n)^4)/(4^2n(1-n^4/4^n)^2)$ [come mai porta fuori 2^4n e 4^2n]

$\lim_{n \to \infty}((1-n^2/2^n)^4/(1-n^4/4^n)^2)$

E come mai arriva ad ottenere 1??? Cioè non sarebbe (1-inf/inf)^4/(1-inf/inf)^2????


Nel secondo limite da dove hai preso questo 3????

$\lim_{n \to \infty}((sqrt(n^2+n)-sqrt(n^2-2n))/n)$

$\lim_{n \to \infty}((sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-2n))/n)*(sqrt(n^2+n)-sqrt(n^2-2n))/(sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-2n))$

che alla fine ottengo:

$\lim_{n \to \infty}(n^2+n-n^2+2n)/(n(sqrt(n^2+n)-sqrt(n^2-2n))$

$\lim_{n \to \infty}(n+2n)/(n(sqrt(n^2+n)-sqrt(n^2-2n))$

[dan89-votailprof]

"erika86":

$\lim_{n \to \infty}((1-n^2/2^n)^4/(1-n^4/4^n)^2)$

E come mai arriva ad ottenere 1??? Cioè non sarebbe (1-inf/inf)^4/(1-inf/inf)^2????

$n^2/2^n$ e $n^4/4^n$ tendono a zero, quindi alla fine ti resta $1/1=1$