Limiti di successione

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi ho un dubbio banale che e meglio risolvere per non crearmi dubbi in futuro. allora sto studiando i limiti delle successioni e sono capitato in un esercizio che stupidamente ho sbagliato per un semplice dubbio che mi e venuto sulle proprieta' delle potenze

il limite n-->infinito 4^(n^2)/n^n

giustamente ho usato subito la scala degli infiniti e ho potuto dire che n^n tende piu velocemente all'infinito rispetto a un esponenziale in base "a"quindi la successione tende a zero. ma e sbagliato in quanto il libro mi dice che tende a piu infinito allora mi e venuto il dubbio sul fatto che 4^(n^2) e diverso da 4^(2*n) ma scusate questa non e una delle proprietà delle potenze ?! oppure su questa banale cosa mi si è aperto questo dubbio chiederei chiarimenti grazie anticipatamente

[garnak.olegovitc1]

"alessandrof10":allora mi e venuto il dubbio sul fatto che 4^(n^2) e diverso da 4^(2*n) ma scusate questa non e una delle proprietà delle potenze ?!

non capisco questa affermazione, è scritta in modo poco chiaro !! Per te \( 4^{(n^2)}=4^{(2 n)}\)??

[alessandro.roma.1654]

si cioè per definizione Il risultato della potenza di una potenza è ancora una volta una potenza avente come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti... non vorrei avessi interpretato male fin dal principio la definizione tutto qua

[garnak.olegovitc1]

Si dimostra dato un \(x \in \Bbb{R}\) che \( \forall m,n \in \Bbb{N}((x^m)^n)=x^{m\cdot n})\), nel tuo caso si ha palesemente $$4^{n^2=n\cdot n}=(4^n)^n \; \text{ e }\; 4^{2n}=(4^2)^n$$ vogliamo azzardare che $$4^{(n^2)}=4^{(2 n)}, \;\forall n \in \Bbb{N}$$ ragionando per controesempio si nota che se \(n=1\) allora $$4^{1^2=1}=4= 4^{2\cdot 1=2}=8$$ a te le conclusioni

Ciao

[alessandro.roma.1654]

sisi infatti ragionando su questa cosa sono riuscito a dimostrarlo come hai fatto tu ma come mai questo limite tende a piu infinito se esponenziale e piu' lento del n^n.. non dovrebbe tendere a zero ??... un esercizio simile in cui al numeratore trovo un esponenziale 2^(log5(n)) diviso n stesso problema esponenziale non dovrebbe andare piu velocemente di n invece il limite tende a zero :S

[SaraSueEss]

Non so se state scherzando o cosa, ma $x^(n^m)$ è palesemente diverso da $(x^n)^m$

[gio73]

ciao Alessandro
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