Limiti di succcessioni dove compare il seno e il coseno

[97.russo]

Ciao stavo svolgendo degli esercizi e ho trovato limiti del tipo $ lim_(n->infty) ((n cos(n))/(nsqrt(n) +2)) $ ora so che il limite del coseno di n per n all'infinito non esiste (vero?) allora tutto il limite della successione non esiste?
Mentre $ lim_(n->infty) ((n^2 + n cos(n))/(sin(n) - 2n)) =-infty $ è corretto?

[kobeilprofeta]

$frac{n*cos(n)}{n*sqrt(n)+2}=frac{frac{cos n}{sqrt(n)}}{1+frac{2}{nsqrt(n)}} to frac{0}{1+0}=0$

[Magma1]

Ciao, il fatto che non esista il limite di una funzione non è sufficiente affinché non esita il limite della combinazione lineare di successioni; infatti

$ lim_(n->infty) ((n cos(n))/(nsqrt(n) +2)) $

$(n cos(n))/(nsqrt(n) +2)≃(n cos(n))/(nsqrt(n))=(cos(n))/(sqrt(n)$

Ora, la successione $cos(n)$ è limitata in $[-1,1]$:

$-1/sqrt(n)<=cos(n)/sqrt(n)<=1/sqrt(n)$

Poiché $(lim_(n->infty)-1/sqrt(n)=0 ^^ lim_(n->infty)1/sqrt(n)=0) rArr lim_(n->infty)cos(n)/sqrt(n)=0$

E poiché successioni asintotiche hanno lo stesso comportamento, segue che $ lim_(n->infty) ((n cos(n))/(nsqrt(n) +2))=0$

[97.russo]

Grazie per la spiegazione, ora, il secondo limite che ho fatto è giusto?

[Magma1]

"simoorusso": ora, il secondo limite che ho fatto è giusto?

Sì