Limiti di integrali
Ho questi due esercizi sui limiti sui quali non sono proprio sicuro:
1) Calcolare: $lim_(x\to +\infty) sqrt(x)\int_x^(2x) 1/(sqrt(1+t^4))dt$
Io qui ho fatto questo tipo di considerazione:
$1/(sqrt(1+x^4)) sim 1/(x^2), \text{per} x\to +\infty$. Allora $\int_x^(2x) 1/(sqrt(1+t^4))dt sim \int_x^(2x) 1/(t^2)dt, \text{per} x\to +\infty$.
Ora: $\int_x^(2x) 1/(t^2)dt = [ -(t^(-3))/3]_x^(2x) = -1/(3x^3)+1/(24x^3) = -7/(24x^3) rArr lim_(x\to+\infty) -7/(24x^3) = 0 rArr lim_(x\to+\infty) \int_x^(2x) 1/(t^2)dt = 0 rArr lim_(x\to+\infty) \int_x^(2x) 1/(sqrt(1+t^4)) = 0$
Quindi $lim_(x\to +\infty) (\int_x^(2x) 1/(sqrt(1+t^4))dt)/(1/sqrt(x)) sim 0/0 rArr lim_(x\to +\infty) (1/(sqrt(1+16x^4)))/(-1/(2sqrt(x^3))) = lim_(x\to +\infty) -(2sqrt(x^3))/(sqrt(1+16x^4)) = lim_(x\to +\infty) -2/(sqrt(x)sqrt(1/(x^4)+16)) = 0$
2) Calcolare: $lim_(x\to +\infty) e^(-ax)(1+a/x)^(x^2), a\in RR, a>0$
Qui mi sono rifatto al limite notevole $lim_(x\to +infty) (1+\beta/x)^x = e^\beta$ quindi mi troverei in una situazione $e^(-ax)e^(ax)=1$. È un ragionamento corretto?
1) Calcolare: $lim_(x\to +\infty) sqrt(x)\int_x^(2x) 1/(sqrt(1+t^4))dt$
Io qui ho fatto questo tipo di considerazione:
$1/(sqrt(1+x^4)) sim 1/(x^2), \text{per} x\to +\infty$. Allora $\int_x^(2x) 1/(sqrt(1+t^4))dt sim \int_x^(2x) 1/(t^2)dt, \text{per} x\to +\infty$.
Ora: $\int_x^(2x) 1/(t^2)dt = [ -(t^(-3))/3]_x^(2x) = -1/(3x^3)+1/(24x^3) = -7/(24x^3) rArr lim_(x\to+\infty) -7/(24x^3) = 0 rArr lim_(x\to+\infty) \int_x^(2x) 1/(t^2)dt = 0 rArr lim_(x\to+\infty) \int_x^(2x) 1/(sqrt(1+t^4)) = 0$
Quindi $lim_(x\to +\infty) (\int_x^(2x) 1/(sqrt(1+t^4))dt)/(1/sqrt(x)) sim 0/0 rArr lim_(x\to +\infty) (1/(sqrt(1+16x^4)))/(-1/(2sqrt(x^3))) = lim_(x\to +\infty) -(2sqrt(x^3))/(sqrt(1+16x^4)) = lim_(x\to +\infty) -2/(sqrt(x)sqrt(1/(x^4)+16)) = 0$
2) Calcolare: $lim_(x\to +\infty) e^(-ax)(1+a/x)^(x^2), a\in RR, a>0$
Qui mi sono rifatto al limite notevole $lim_(x\to +infty) (1+\beta/x)^x = e^\beta$ quindi mi troverei in una situazione $e^(-ax)e^(ax)=1$. È un ragionamento corretto?
Risposte
Mi permetto di uppare nella speranza che qualcuno abbia una risposta illuminante 
Per il primo esercizio sono d'accordo sulla scelta della regola di l'Hopital, ma attenzione perché non ho controllato i conti. C'è una cosa da dire: tu affermi che
Il che sarà probabilmente vero, non dico di no, ma non mi sembra ovvio. Per me dovresti dimostrarlo.
Per il secondo esercizio, stessa storia: tu affermi che $(1+a/x)^(x^2)sime^(ax)$ per $x\toinfty$. Meglio dimostrarlo.
$1/(sqrt(1+x^4)) sim 1/(x^2), \text{per} x\to +\infty$. Allora $\int_x^(2x) 1/(sqrt(1+t^4))dt sim \int_x^(2x) 1/(t^2)dt, \text{per} x\to +\infty$.
Il che sarà probabilmente vero, non dico di no, ma non mi sembra ovvio. Per me dovresti dimostrarlo.
Per il secondo esercizio, stessa storia: tu affermi che $(1+a/x)^(x^2)sime^(ax)$ per $x\toinfty$. Meglio dimostrarlo.
Sinceramente non saprei come dimostrarle, la seconda l'ho sempre conosciuta come limite notevole ($lim_(x\to+\infty) (1+a/x)^x = e^a$) mentre la prima mi sembra venire direttamente dalla definizione di integrale come $lim_(|\sigma|\to 0) |S(f,\sigma) - s(f,\sigma)| = 0$.
Hai qualche nota particolare da darmi o punto chiave che dovrei dimostrare perchè lo sto dando "troppo per scontato"?
Hai qualche nota particolare da darmi o punto chiave che dovrei dimostrare perchè lo sto dando "troppo per scontato"?
Comincia col chiarire cosa intendi per $sim$.
Poi si tratta di verificare le equivalenze che hai affermato: è una cosa abbastanza standard nel secondo caso (si tratta di calcolare un limite).
Nel primo caso, l'equivalenza delle funzioni integrali, si può probabilmente procedere come dici tu (ma non è una definizione molto bella, quella, di integrale...). Meglio (per me) puntare su qualche disuguaglianza come $c1/(t^2)<=1/(sqrt(1+t^4))<=C1/t^2$, dove $c, C$ sono costanti. Ma, ripeto, è solo un'idea.
E soprattutto, niente può essere fatto se non chiarisci il senso di quella $sim$.
Poi si tratta di verificare le equivalenze che hai affermato: è una cosa abbastanza standard nel secondo caso (si tratta di calcolare un limite).
Nel primo caso, l'equivalenza delle funzioni integrali, si può probabilmente procedere come dici tu (ma non è una definizione molto bella, quella, di integrale...). Meglio (per me) puntare su qualche disuguaglianza come $c1/(t^2)<=1/(sqrt(1+t^4))<=C1/t^2$, dove $c, C$ sono costanti. Ma, ripeto, è solo un'idea.
E soprattutto, niente può essere fatto se non chiarisci il senso di quella $sim$.
Per $sim$ intendevo equivalenza asintotica tra le due funzioni messe in relazione per la tendenza specificata. Oppure, utilizzando la notazione ad Ograndi:
$f(x) sim g(x)$ per $x\to +\infty$ $iff$ $f(x)=O(g(x)), g(x)=O(f(x))$ per $x\to +\infty$.
$f(x) sim g(x)$ per $x\to +\infty$ $iff$ $f(x)=O(g(x)), g(x)=O(f(x))$ per $x\to +\infty$.
Va bene, allora tu definisci così l'equivalenza asintotica. Una maniera più restrittiva è questa: $fsimgiff(f/g) \to1$. Ma non perdiamoci in queste chiacchiere; adesso tocca dimostrare le equivalenze da te affermate nei post precedenti.
Per quella relativa agli integrali, prova a costruire una disuguaglianza come quella che ho accennato nel post precedente, non è difficile. Va bene anche una disuguaglianza vera per $t$ sufficientemente grande. Visto che si tratta di funzioni positive, puoi "integrare membro a membro" la disuguaglianza, ottenendo una relazione vera per le funzioni integrali. Da cui l'equivalenza asintotica.
Per quella relativa agli integrali, prova a costruire una disuguaglianza come quella che ho accennato nel post precedente, non è difficile. Va bene anche una disuguaglianza vera per $t$ sufficientemente grande. Visto che si tratta di funzioni positive, puoi "integrare membro a membro" la disuguaglianza, ottenendo una relazione vera per le funzioni integrali. Da cui l'equivalenza asintotica.
Ad occhio e croce, per il primo limite puoi usare de l'Hopital.
Ovviamente devi prima verificare che $int_(x)^(2x)1/\sqrt(1+t^4)" d"t \to 0$ per $x\to +oo$, poi eventualmente porti tutto in forma $0/0$.
Per il secondo limite bisogna fare un po' di conti.
Ad esempio trovi:
$e^(-ax)(1+a/x)^(x^2)=[1/e^a*(1+a/x)^x]^x$
quindi sei in una forma indeterminata tipo $1^oo$; passi all'esponenziale e tutto si riconduce a studiare il limite di questa roba qui sotto:
$x*ln[1/e^a*(1+a/x)^x]=x*[xln(1+a/x)-a]=(ln(1+a/x)-a/x)/(1/x^2) \quad$;
visto l'ultimo membro, pare naturale suggerire la sostituzione $y=a/x$ e l'uso dello sviluppo di MacLaurin del logaritmo.
Ovviamente devi prima verificare che $int_(x)^(2x)1/\sqrt(1+t^4)" d"t \to 0$ per $x\to +oo$, poi eventualmente porti tutto in forma $0/0$.
Per il secondo limite bisogna fare un po' di conti.
Ad esempio trovi:
$e^(-ax)(1+a/x)^(x^2)=[1/e^a*(1+a/x)^x]^x$
quindi sei in una forma indeterminata tipo $1^oo$; passi all'esponenziale e tutto si riconduce a studiare il limite di questa roba qui sotto:
$x*ln[1/e^a*(1+a/x)^x]=x*[xln(1+a/x)-a]=(ln(1+a/x)-a/x)/(1/x^2) \quad$;
visto l'ultimo membro, pare naturale suggerire la sostituzione $y=a/x$ e l'uso dello sviluppo di MacLaurin del logaritmo.
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