Limiti di funzioni positivamente omogenee in $R^n$
Ho bisogno di una mano per completare un teorema visto a lezione ma di cui ho solo segnato alcuni casi.Non so nemmeno se questo teorema abbia un nome ma non son riuscito a trovarlo da nessuna parte in rete.
Sia data una funzione $f$ positivamente omogenea di grado $k$ in $R^n$. Studiamo il limite per le incognite che tendono al vettor nullo.
-Se $k>0$ e la funzione $f$ ristretta alla sfera (n-1)-dimensionale (quindi una sfera in $R^3$, una circonferenza in $R^2$) è limitata, allora il limite è 0
-Se $k=0$ e $f$ non è costante, allora il limite non esiste
Mi mancano i casi per $k<0$ dove so che c'erano altri due sottocasi.
Qualcuno mi può aiutare? grazie
Sia data una funzione $f$ positivamente omogenea di grado $k$ in $R^n$. Studiamo il limite per le incognite che tendono al vettor nullo.
-Se $k>0$ e la funzione $f$ ristretta alla sfera (n-1)-dimensionale (quindi una sfera in $R^3$, una circonferenza in $R^2$) è limitata, allora il limite è 0
-Se $k=0$ e $f$ non è costante, allora il limite non esiste
Mi mancano i casi per $k<0$ dove so che c'erano altri due sottocasi.
Qualcuno mi può aiutare? grazie
Risposte
Intanto quel
1) il limite è $+\infty$ (o $-\infty$);
2) il limite non esiste.
a seconda se $f$ mantiene o no segno costante sulla superficie sferica.
Studiamo il limite per le incognite che tendono al vettor nullo.è brutto. Non sono "incognite" ma "variabili". Comunque, a parte questo, i due sottocasi saranno
1) il limite è $+\infty$ (o $-\infty$);
2) il limite non esiste.
a seconda se $f$ mantiene o no segno costante sulla superficie sferica.
"dissonance":
Intanto quelStudiamo il limite per le incognite che tendono al vettor nullo.è brutto. Non sono "incognite" ma "variabili". Comunque, a parte questo, i due sottocasi saranno
1) il limite è $+\infty$ (o $-\infty$);
2) il limite non esiste.
a seconda se $f$ mantiene o no segno costante sulla superficie sferica.
Grazie mille! Se il segno costante della funzione è negativo, il limite sarà $-\infty$. Se il segno è positivo sarà $+\infty$. Giusto?
Si, certo. Però lo devi dimostrare. Sarà probabilmente una conseguenza della compattezza della superficie sferica.
"dissonance":
Si, certo. Però lo devi dimostrare. Sarà probabilmente una conseguenza della compattezza della superficie sferica.
Bè per adesso mi basta saper applicare il teorema. La dimostrazione non è richiesta
Buongiorno a tutti,
io vorrei sollevare una perplessità su questo teorema.
La funzione $f(x,y)=\frac{y^5}{x^2}$ a mio avviso è una funzione positivamente omogenea di grado $3$ continua per $x\ne 0$ giusto?
quindi per il teorema sopra esposto la funzione dovrebbe essere continua anche in $(0,0)$, cioè il limite dovrebbe esistere anche nell'origine ed essere pari a zero.
tuttavia è immediato notare che lungo la curva $x=y^{\frac{5}{2}}$ la funzione è sempre costante e pari a $1$, quindi se mi avvicino all'origine seguendo questa particolare curva ho che il limite è pari a $1$ da cui deduco che il limite non esiste poiché se valuto il limite lungo la retta $y=0$ il limite vale zero.
Se sbaglio, dove sbaglio? a me sembra che le ipotesi per applicare il teorema siano tutte soddisfatte cosa mi sfugge?
io vorrei sollevare una perplessità su questo teorema.
La funzione $f(x,y)=\frac{y^5}{x^2}$ a mio avviso è una funzione positivamente omogenea di grado $3$ continua per $x\ne 0$ giusto?
quindi per il teorema sopra esposto la funzione dovrebbe essere continua anche in $(0,0)$, cioè il limite dovrebbe esistere anche nell'origine ed essere pari a zero.
tuttavia è immediato notare che lungo la curva $x=y^{\frac{5}{2}}$ la funzione è sempre costante e pari a $1$, quindi se mi avvicino all'origine seguendo questa particolare curva ho che il limite è pari a $1$ da cui deduco che il limite non esiste poiché se valuto il limite lungo la retta $y=0$ il limite vale zero.
Se sbaglio, dove sbaglio? a me sembra che le ipotesi per applicare il teorema siano tutte soddisfatte cosa mi sfugge?
"ghiozzo":
-Se $k>0$ e la funzione $f$ ristretta alla sfera (n-1)-dimensionale (quindi una sfera in $R^3$, una circonferenza in $R^2$) è limitata, allora il limite è 0
nel tuo caso la funzione non è limitata su ${x^2+y^2=1}$ quindi non puoi concludere come hai fatto
Ah ecco l'ipotesi che mi ero perso!!
grazie mille!
Mi sembrava troppo bello che vi fosse un teorema del genere, avrebbe semplificato terribilmente il calcolo di molti limiti, se però bisogna verificare che la funzione sia limitata in un intorno del punto in cui si intende calcolarne il limite, il teorema stesso perde di importanza.
Mi chiedevo appunto dopo averlo letto in un appendice di un libro di analisi 2, come mai non fosse stampato direttamente sulla copertina, ed ora mi è chiaro il motivo. Semplicemente ero così preso dal risultato che non ho fatto sufficiente attenzione alle ipotesi.
grazie mille!
Mi sembrava troppo bello che vi fosse un teorema del genere, avrebbe semplificato terribilmente il calcolo di molti limiti, se però bisogna verificare che la funzione sia limitata in un intorno del punto in cui si intende calcolarne il limite, il teorema stesso perde di importanza.
Mi chiedevo appunto dopo averlo letto in un appendice di un libro di analisi 2, come mai non fosse stampato direttamente sulla copertina, ed ora mi è chiaro il motivo. Semplicemente ero così preso dal risultato che non ho fatto sufficiente attenzione alle ipotesi.
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