Limiti di funzioni in due variabili

[Ermete22]

Ciao ragazzi, come da titolo ho un dubbio sul calcolo di limiti di funzioni in due variabili
Vi sottopongo i 2 specifici esercizi (con soluzione della prof)

1) $ lim_(x,y -> 0,0)(2x^2y) /(x^4 + y^2) $

Passiamo in polari e quello che otteniamo alla fine è

$ lim_(p -> 0) (2p^2cos^2(Theta) p sin(Theta))/(p^4cos^4(Theta)+p^2sin^2(Theta)) $

che sostanzialmente ci da un

$ lim_(p -> 0) 0/sin(Theta) $

La nostra prof ha detto dunque che il limite non esiste poichè il seno potrebbe essere uguale a 0 dandoci una forma 0/0 (e dunque un limite non finito)

2) $ lim_(x,y -> 0,0) (x^3+y^5)/(x^2+y^4) $

Ragioniamo sempre col passaggio in polari

$ lim_(p -> 0) (p^3cos^3(Theta) + p^5sin^5(Theta))/(p^2cos^2(Theta)+p^4sin^4(Theta) $

stavolta abbiamo quindi un

$ lim_(p -> 0) 0/sin^2(Theta) $

In questo caso però (vedendo la soluzione del Bramanti) non possiamo dire sull'esistenza del limite e dobbiamo quindi lavorare col teorema del confronto (facendo una maggiorazione) per scoprire poi che il limite esiste ed è uguale a 0

come mai se arriviamo a due conclusioni molto simili, i risultati poi sono l'uno l'opposto dell'altro?

Grazie mille in anticipo

[Mephlip]

Nel primo caso non è che ci sia una domanda specifica, qual è il dubbio?
Nel secondo caso mi sento solo di dirti di cercare di filtrare (non completamente, ma con il giusto scetticismo) i ragionamenti "per analogia", cosa significa che due espressioni son simili? Come puoi vedere, nonostante la somiglianza "visiva" si comportano in maniera differente; la morale è che non ci si deve fidare troppo dell'intuito. Comunque mi sento di chiederti anche qui quale è il dubbio nello specifico

[Mathita]

Mi sembra improbabile che la tua insegnante abbia giustificato l'inesistenza del limite in quella maniera. Sei sicuro di non esserti perso qualche commento della prof mentre eri intento a prendere gli appunti? (Mi succedeva spesso, ecco perché chiedo.)

[Ermete22]

La mia domanda è

Perchè nel primo caso, di fronte a 0/sin(Theta) posso dire : Il seno potrebbe annullarsi facendomi andare il limite ad infinito dunque il limite non esiste

mentre nel secondo caso, di fronte a 0/sin^2(Theta) dico : Il limite potrebbe ancora esistere, facciamo il metodo della maggiorazione e scopriamo poi che esiste

Che differenza c'è tra i due casi? Perchè nel è primo chiudo subito la faccenda dicendo che il limite non esiste e nel secondo caso il limite poi scopriamo che esiste?

[Mathita]

La questione è che la giustificazione sull'inesistenza del primo limite è sbagliata. Lo si evince dal fatto che applicando lo stesso metodo a un altro esercizio si ottengono conclusioni differenti, ergo la strategia è fallace. Entrando nel merito della questione, supponiamo che il primo esercizio sia corretto e analizziamo gli angoli critici, ossia $\theta =0 , \theta=\pi$. Nel primo caso, $x=\rho\ge 0, y=0$, quindi quando costruiamo il limite per $\rho\to 0$ e per $\theta=0$, è come se stessimo considerando il limite della funzione ristretta ai punti che appartengono al semiasse delle ascisse positive, e come puoi dedurre facilmente, il limite è 0 (e coincide con il candidato limite). Se $\theta =\pi$ allora $x=-\rho\le 0,y=0$, e il limite in coordinate polari equivale al limite della funzione ristretta al semiasse delle ascisse negative. Anche in questo caso il limite coincide con il candidato (0), ergo questa strada non ti fornisce informazioni né sull'esistenza né sull'inesistenza del limite, tuttalpiù può (nota il verbo) suggerire le eventuali direzioni patologiche e utilizzarle al negativo: Se i limiti sulle rette individuate dalle direzioni critiche sono diversi, allora il limite non esiste. Sia chiaro che calcolare il limite in coordinate polari fissando di volta in volta theta equivale a calcolare il limite sulle (semi)rette, strategia che rappresenta esclusivamente una condizione necessaria per l esistenza del limite, ma non è sufficiente. Ben diversa è la situazione se riesci a maggiorare il modulo della differenza tra la funzione espressa in coordinate polari e il candidato limite con una funzione che dipende esclusivamente da rho, non negativa e infinitesima per rho che tende a zero.

[Mathita]

Questo lo dobbiamo chiedere all'insegnante. La scrittura non è standard (anche se l'ho visto fare da professori per lo studio dei limiti con parametro, per una questione tipografica: Scrivere alla lavagna è faticoso e lo spazio non basta mai). Di fatto sembrerebbe che l'insegnante volesse evidenziare che se il limite dipende da teta, allora non esiste (?). Mi auguro che l'OP abbia preso male gli appunti o comunque perso qualche commento detto a voce.

[Mathita]

"Ermete22":

La nostra prof ha detto dunque che il limite non esiste poichè il seno potrebbe essere uguale a 0 dandoci una forma 0/0 (e dunque un limite non finito)

Attento: Le forme di indecisione possono nascondere limiti finiti; se leggo i tuoi appunti, quell' "e dunque" mi suggerisce una implicazione.