Limiti di funzioni in 2 variabili
Ciao a tutti. Sto iniziando ad affrontare lo studio delle funzioni in più variabili.
Ho cercato di svolgere degli esercizi sui limiti; li ho presi da un libro di Analisi matematica, ma le soluzioni sono solo online, tramite iscrizione (e non posso accedere al sito perchè il libro non è mio, ma della biblioteca dell'università, e non ha il codice).
Potreste darmi una mano?
Più che sapere se le soluzioni sono giuste, vorrei capire se il mi modo di procedere è corretto.
Gli esercizi seguenti riguardano solo funzioni in due variabili.
Trovandomi di fronte a un limite di questo tipo, ho principalmente tre modii di procedere:
Innanzitutto valuto se l'espressione può essere semplificata tramite gli asintotici; poi applico uno dei dei seguenti metodi:
- per confronto
- provo ad avvicinarmi al limite da uno o più "percorsi" diversi (es dalla retta y=mx, o da altre curve) e valuto se esiste una soluzione unica (in genere in questi casi la risposta nei miei tentativi è sempre no...)
- sostituisco a x e a y le coordinate polari.
Può essere corretto come metodo? Ne ho perso qualcuno per strada?
Gli esercizi:
a) $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} (x+y)/(x-y)$ Il limite presenta una forma di indecisione $[0/0]$.
Procedo sostituendo nel seguente modo y= mx, cioè avvicinandomi all'origine tramite la generica retta passante per essa. Il limite risulta uguale a $(1+m)/(1-m)$, indipendente da x e da y. Tale valore varia al variare del coefficiente angolare, pertanto il limtie cercato non esiste.
b) $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} (3x + 5y)/(x^2 - y^2)$. Anche qui ho sostituito y = mx, ottenendo $\lim_{x \to \0} (x(3+5mx))/((x^2)(1 - m^2 x^2))$. Semplificando: $\lim_{x \to \0} 3/x = 0$
c) $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} (x^4 + y^4)/(x^2 + y^2)$. Qui ho sostituito a x e y le coordinate polari e cioè $x= psen(theta)$ e $y=pcos(theta)$;
$\lim_{p \to \0} (p^4( sen^4(theta) + cos^4 (theta))/p^2 =\lim_{p \to \0} p^2(sen^4 (theta) + cos^4(theta)) = 0$
d) $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} (sin^2 ( xy)) / (3x^2 + 2y^2)$. Questo mi ha creato qualche problema...ho pensato di utilizzare l'asintotico per semplificare il sin:
quindi otterrei
$(sin^2 ( xy)) / (3x^2 + 2y^2) sim ((xy)^2 / (3x^2 + 2y^2))$ A questo punto sostituisco y=mx, e il limite risulta 0. Ma ora devo provare con altre curve? Se sì, con quali?
Ce ne sarebbero anche altri, ma mi sa che per oggi questi bastano...non vorrei farvi perdere troppo la pazienza.
Grazie mille per l'aiuto.
Buon pomeriggio
Ho cercato di svolgere degli esercizi sui limiti; li ho presi da un libro di Analisi matematica, ma le soluzioni sono solo online, tramite iscrizione (e non posso accedere al sito perchè il libro non è mio, ma della biblioteca dell'università, e non ha il codice).
Potreste darmi una mano?
Più che sapere se le soluzioni sono giuste, vorrei capire se il mi modo di procedere è corretto.
Gli esercizi seguenti riguardano solo funzioni in due variabili.
Trovandomi di fronte a un limite di questo tipo, ho principalmente tre modii di procedere:
Innanzitutto valuto se l'espressione può essere semplificata tramite gli asintotici; poi applico uno dei dei seguenti metodi:
- per confronto
- provo ad avvicinarmi al limite da uno o più "percorsi" diversi (es dalla retta y=mx, o da altre curve) e valuto se esiste una soluzione unica (in genere in questi casi la risposta nei miei tentativi è sempre no...)
- sostituisco a x e a y le coordinate polari.
Può essere corretto come metodo? Ne ho perso qualcuno per strada?
Gli esercizi:
a) $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} (x+y)/(x-y)$ Il limite presenta una forma di indecisione $[0/0]$.
Procedo sostituendo nel seguente modo y= mx, cioè avvicinandomi all'origine tramite la generica retta passante per essa. Il limite risulta uguale a $(1+m)/(1-m)$, indipendente da x e da y. Tale valore varia al variare del coefficiente angolare, pertanto il limtie cercato non esiste.
b) $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} (3x + 5y)/(x^2 - y^2)$. Anche qui ho sostituito y = mx, ottenendo $\lim_{x \to \0} (x(3+5mx))/((x^2)(1 - m^2 x^2))$. Semplificando: $\lim_{x \to \0} 3/x = 0$
c) $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} (x^4 + y^4)/(x^2 + y^2)$. Qui ho sostituito a x e y le coordinate polari e cioè $x= psen(theta)$ e $y=pcos(theta)$;
$\lim_{p \to \0} (p^4( sen^4(theta) + cos^4 (theta))/p^2 =\lim_{p \to \0} p^2(sen^4 (theta) + cos^4(theta)) = 0$
d) $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} (sin^2 ( xy)) / (3x^2 + 2y^2)$. Questo mi ha creato qualche problema...ho pensato di utilizzare l'asintotico per semplificare il sin:
quindi otterrei
$(sin^2 ( xy)) / (3x^2 + 2y^2) sim ((xy)^2 / (3x^2 + 2y^2))$ A questo punto sostituisco y=mx, e il limite risulta 0. Ma ora devo provare con altre curve? Se sì, con quali?
Ce ne sarebbero anche altri, ma mi sa che per oggi questi bastano...non vorrei farvi perdere troppo la pazienza.
Grazie mille per l'aiuto.
Buon pomeriggio
Risposte
a) è giusta, non continua in $(0,0)$
b) in coordinate polari ti accorgi che il limite è pari ad infinito, e quindi la funzione non sarebbe continua.
c) giusto, continua.
d) Se l'asintotico è corretto, puoi passare in coordinate polari e avere la certezza che sia $0$, perchè con le curve, rette, parabole,..., puoi solo dimostrare che il limite non esiste (cioè dipende dalla particolare retta scelta)
b) in coordinate polari ti accorgi che il limite è pari ad infinito, e quindi la funzione non sarebbe continua.
c) giusto, continua.
d) Se l'asintotico è corretto, puoi passare in coordinate polari e avere la certezza che sia $0$, perchè con le curve, rette, parabole,..., puoi solo dimostrare che il limite non esiste (cioè dipende dalla particolare retta scelta)
"lewis":
Semplificando: $\lim_{x \to \0} 3/x = 0$
Questo è imbarazzante...ovviamente è $oo$ e non $0$ (se lo vedesse il mio professore di calcolo, mi boccerebbe non solo al prossimo esame, ma anche a tutti quelli futuri e quelli già sostenuti!!) Direi che si vede che ho qualche lineetta di febbre...non riesco nemmeno a copiare tre righe di esercizio senza scrivere stupidate!!Comunque...innanzitutto grazie per l'aiuto. Ora provo a sistemare. però prima ho una domanda. In ogni esercizio hai indicato se la funzione è continua o meno nel punto (0,0), ma non ne ho capito bene il motivo.
Io devo studiare il comportamente della funzione vicino al punto (0,0), non in esso...perchè dunque bisogna indicarne la continuità?
d) Sì, l'asintotico dovrebbe essere corretto: per $(x, y) rarr (0,0)$, $xy rarr 0$ e $sin^2 (xy) = sin(xy) sin(xy) sim (xy)(xy) = (xy)^2$
Forse ho capito cosa intendi: se devo dimostrare che un limite non esiste, uso una o più curve; in caso contrario uso o il metodo del confronto o le coordinate polari.
Ha senso, in effetti: se dovessi dimostrare l'esistenza tramite le curve, dovrei mostrare che il limite esiste ed è uguale lungo tutte le possibili curve: un po' proibitivo
Quindi, usando le coordinate polari ottengo:
$lim_{p rarr 0} (p^4( sen^2(theta)cos^2(theta)))/(p^2(3cos^2(theta) + 2 sen^2(theta))) = lim_{p arr 0} (p^2(sen^2(theta)cos^2(theta)))/(2 + cos^2(theta))$
Il denominatore è sicuramente diverso da 0 (anzi, direi limitato e positivo) quindi non sussistono forme di indecisione, e il limite è 0, perchè $p arr 0$.
Ci sono?
Grazie mille dell'aiuto e buona giornata.
Senza intervenire nella discussione, passo un vecchio link che potrebbe tornare utile:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#369836
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#369836
Grazie, dissonance. Ora me lo guardo ben bene!
Buon pomeriggio
Buon pomeriggio
"lewis":
[quote="lewis"]
Semplificando: $\lim_{x \to \0} 3/x = 0$
Questo è imbarazzante...ovviamente è $oo$ e non $0$ (se lo vedesse il mio professore di calcolo, mi boccerebbe non solo al prossimo esame, ma anche a tutti quelli futuri e quelli già sostenuti!!) Direi che si vede che ho qualche lineetta di febbre...non riesco nemmeno a copiare tre righe di esercizio senza scrivere stupidate!!Comunque...innanzitutto grazie per l'aiuto. Ora provo a sistemare. però prima ho una domanda. In ogni esercizio hai indicato se la funzione è continua o meno nel punto (0,0), ma non ne ho capito bene il motivo.
Io devo studiare il comportamente della funzione vicino al punto (0,0), non in esso...perchè dunque bisogna indicarne la continuità?
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Scusami se ti ho confuso; è che poteva essere utile per chi cerca la continuità in quel punto (perchè, appunto, dipende dal valore del limite in quel punto)
d) Sì, l'asintotico dovrebbe essere corretto: per $(x, y) rarr (0,0)$, $xy rarr 0$ e $sin^2 (xy) = sin(xy) sin(xy) sim (xy)(xy) = (xy)^2$
Forse ho capito cosa intendi: se devo dimostrare che un limite non esiste, uso una o più curve; in caso contrario uso o il metodo del confronto o le coordinate polari.
Ha senso, in effetti: se dovessi dimostrare l'esistenza tramite le curve, dovrei mostrare che il limite esiste ed è uguale lungo tutte le possibili curve: un po' proibitivo
Quindi, usando le coordinate polari ottengo:
$lim_{p rarr 0} (p^4( sen^2(theta)cos^2(theta)))/(p^2(3cos^2(theta) + 2 sen^2(theta))) = lim_{p arr 0} (p^2(sen^2(theta)cos^2(theta)))/(2 + cos^2(theta))$
Il denominatore è sicuramente diverso da 0 (anzi, direi limitato e positivo) quindi non sussistono forme di indecisione, e il limite è 0, perchè $p arr 0$.
Ci sono?
Grazie mille dell'aiuto e buona giornata.
Esatto; infatti esistendo infinite curve, dovresti fare infiniti calcoli XD e solo alla fine delle infinite possibilità poter dire quant'è il limite, o che non esista. Insomma, mai
Riguardo il limite, si, è zero. Non ho ben capito il parr e il secondo passaggio, ma già dal primo si vede che non c'è dipendenza da $\theta$, e che al numeratore il $\ro$ tendente a $0$, farà tendere tutto a $0$.
Per essere più preciso potevi fare maggiorazioni, ma ad esempio per il mio professore non sono necessarie
Per essere più preciso potevi fare maggiorazioni, ma ad esempio per il mio professore non sono necessarie
Precisa in realtà
Sono una femminuccia Quanto alle maggiorazioni, non so che ne pensi il mio professore: in ogni caso, meglio farle, non si sa mai.
Grazie infinite per l'aiuto, davvero, sei stato gentile e chiaro!
Ci si vede a spasso per il forum.
Buon pomeriggio
[/quote]
Figurati, e scusami per il maschile
Dettaglio:
Si dice:
funzioni di due variabili
Si dice:
funzioni di due variabili
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