Limiti di funzioni fratte
Come procedereste per calcolare
1)$lim_(x^to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x-e^x+5)$
2)$lim_(x^to+\infty)(log(x+e^x))/(2log(2x^2+1)-x)$
Se non ho fatto stupidaggini con Excel, il primo tende a $-\infty$, il secondo ad una costante prossima a $-2,15$. Per il primo ho provato a scomporre il numeratore così da avere varie frazioni e poi o portato tutto a denominatore, senza successo. Per il secondo, pensavo di portare il 2 e la x nell'argomento del denominatore e poi confrontare gli argomenti, ma non ne ho ricavato nulla.
Qualcuno di voi può cortesemente darmi una mano?
P.S. Come avrete capito, mi interessa il procedimento, non il risultato.
1)$lim_(x^to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x-e^x+5)$
2)$lim_(x^to+\infty)(log(x+e^x))/(2log(2x^2+1)-x)$
Se non ho fatto stupidaggini con Excel, il primo tende a $-\infty$, il secondo ad una costante prossima a $-2,15$. Per il primo ho provato a scomporre il numeratore così da avere varie frazioni e poi o portato tutto a denominatore, senza successo. Per il secondo, pensavo di portare il 2 e la x nell'argomento del denominatore e poi confrontare gli argomenti, ma non ne ho ricavato nulla.
Qualcuno di voi può cortesemente darmi una mano?
P.S. Come avrete capito, mi interessa il procedimento, non il risultato.
Risposte
Attento ho provato il secondo limite e ottengo come risultato $-1$, piccolo aiuto al numeratore metti in evidenza $e^x$ all'interno del logaritmo e al denominatore metti in evidenza $x^2$ sempre all'interno del logaritmo e prosegui applicando le proprietà dei logaritmi.
Ciao.
Ciao.
Grazie. Ho seguito il tuo consiglio e ho risolto il 2. Effettivamente non era troppo diificile, ma..ho ragionato al contrario. La soluzione numerica era errata perchè il programma non restituisce il valore di $e^x$ oltre un certo $x$ abbastanza grande, ma per quel $x$ la funzione assumeva un valore ancora lontano da $-1$.
Riguardo al 1) il risultato dovrebbe essere corretto, ma non sapresti darmi una dritta per la risoluzione?
Riguardo al 1) il risultato dovrebbe essere corretto, ma non sapresti darmi una dritta per la risoluzione?
2)$lim_(x^to+\infty)(log(x+e^x))/(2log(2x^2+1)-x)$
Intanto puoi accorgerti che al denominatore c'è una differenza di infiniti. Il logaritmo è certamente un infinito di ordine inferiore rispetto ad $x$ e come tale può essere trascurato.
$lim_(x^to+\infty)(log(x+e^x))/(2log(2x^2+1)-x) = lim_(x^to+\infty) - (log(x+e^x))/x$
Da qui riesci a continuare?
Intanto puoi accorgerti che al denominatore c'è una differenza di infiniti. Il logaritmo è certamente un infinito di ordine inferiore rispetto ad $x$ e come tale può essere trascurato.
$lim_(x^to+\infty)(log(x+e^x))/(2log(2x^2+1)-x) = lim_(x^to+\infty) - (log(x+e^x))/x$
Da qui riesci a continuare?
Si prosegue con $lim_(x^to+\infty) - (log(x+e^x))/x=lim_(x^to+\infty) - (log(e^x*(x/e^x+1)))/x=lim_(x^to+\infty) - (x+ log(x/e^x+1))/x=lim_(x^to+\infty) - x/x=-1$
In ogni caso la soluzione numerica era corretta per il limite di cui avevo bisogno (a numeratore andava $e^(2x)$ anzichè $e^x$). Ma il metodo non cambia.
Ditemi, per 1) va bene fare
$lim_(x^to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x-e^x+5)=lim_(x^to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x)=lim_(x^to+\infty)((2/3)^x)/x-2x^2/3^x-x(e^2/3)^x=lim_(x^to+\infty)-x(e^2/3)^x=-\infty$ ?
In ogni caso la soluzione numerica era corretta per il limite di cui avevo bisogno (a numeratore andava $e^(2x)$ anzichè $e^x$). Ma il metodo non cambia.
Ditemi, per 1) va bene fare
$lim_(x^to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x-e^x+5)=lim_(x^to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x)=lim_(x^to+\infty)((2/3)^x)/x-2x^2/3^x-x(e^2/3)^x=lim_(x^to+\infty)-x(e^2/3)^x=-\infty$ ?
Attento a quello che dici se al numeratore ci fosse stato $e^(2x)$ anzichè $e^x$ il risultato non sarebbe stato $-1$, ma? Attenzione prima fai i calcoli poi scrivi il messaggio.
Ciao.
Ciao.
$lim_(x^to+\infty) - (log(x+e^(2x)))/x=lim_(x^to+\infty) - (log(e^(2x)*(x/e^(2x)+1)))/x=lim_(x^to+\infty) - (2x+ log(x/e^(2x)+1))/x=lim_(x^to+\infty) - x/x=-2$
Veramente volevo dire che il metodo era lo stesso e il risultato era stato scritto, benchè per approssimazione, nel primo post.
Veramente volevo dire che il metodo era lo stesso e il risultato era stato scritto, benchè per approssimazione, nel primo post.
Quando scrivete il limite non mettete ^ tra la x ed il to.
$lim_(x to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x-e^x+5)$
Guarda, secondo me anche qui puoi fare delle considerazioni sugli infiniti in gioco.
$lim_(x to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x-e^x+5)$
Sai che gli infiniti di ordine inferiore, sotto opportune condizioni, possono essere trascurati, giusto?
$Ord ( x^3 ) < Ord ( 2^(x) ) < Ord ( e^(2x) ) < Ord ( x^2 * e^(2x) )$ (per $ x -> +oo$ )
$Ord ( e^(x) ) < Ord ( 3^(x) ) < Ord ( x*3^(x) )$ (per $ x -> +oo$ )
Quindi:
$lim_(x to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x-e^x+5) = lim_(x to+\infty)(-x^2*e^(2x))/(x*3^x)$
$= lim_(x to+\infty)(- x *e^(2x))/(3^x)$
Ti piace..?
Guarda, secondo me anche qui puoi fare delle considerazioni sugli infiniti in gioco.
$lim_(x to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x-e^x+5)$
Sai che gli infiniti di ordine inferiore, sotto opportune condizioni, possono essere trascurati, giusto?
$Ord ( x^3 ) < Ord ( 2^(x) ) < Ord ( e^(2x) ) < Ord ( x^2 * e^(2x) )$ (per $ x -> +oo$ )
$Ord ( e^(x) ) < Ord ( 3^(x) ) < Ord ( x*3^(x) )$ (per $ x -> +oo$ )
Quindi:
$lim_(x to+\infty)(2^x-2x^3-x^2e^(2x))/(x*3^x-e^x+5) = lim_(x to+\infty)(-x^2*e^(2x))/(x*3^x)$
$= lim_(x to+\infty)(- x *e^(2x))/(3^x)$
Ti piace..?
Ancora migliore, direi. Grazie della dritta.
P.S. Ok mod, vedrò di imparare la scrittura corretta. Qual è la controindicazione in questo caso?
P.S. Ok mod, vedrò di imparare la scrittura corretta. Qual è la controindicazione in questo caso?
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