Limiti di funzioni di due variabili

[Darèios89]

Calcolare, se esistono, i seguenti limiti.

[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{\sin(x^2+xy)}{x^2+y^2}[/tex]

Allora, io non so se il confronto funziona, ma ho scritto:

[tex]|\frac{\sin(x^2+xy)}{x^2+y^2}|\leq|\sin(x^2+xy)|[/tex] per ogni x,y diversi da 0,0.

Dunque il limite potrebbe essere 0, se però considero la restrizione:

[tex]E={ y=x, x>0[/tex]

Mi dovrebbe diventare il limite notevole:

[tex]\frac{\sin(2x^2)}{2x^2}[/tex]

Che fa 1, dunque il limite non dovrebbe esistere...


Poi ho un altro limite:

[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{\sin(x^2+xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]


Per il teorema del confronto come prima trovo 0, se faccio la restrizione di prima ottengo:

[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{\sin(2x^2)}{2x^2}*\sqrt{2x^2}[/tex]

Che dovrebbe fare sempre 0, dunque questo limite dovrebbe essere 0.

Emh...c'è almeno qualcosa che funziona?

[strangolatoremancino]

Non mi convince molto la disuguaglianza che hai scritto: cosa succede se $x^2+y^2<1$? Anche per il secondo esercizio non capisco come sei arrivato a dire che il limite esiste


Per quanto riguarda la soluzione a dire il vero non sono ferratissimo sui limiti in più variabili, ma potresti fare così:

Cerca le curve passanti per l'origine e per cui $sin(x^2+xy)$ è nullo, e sulle quali quindi è nulla anche la tua funzione (ed anche il suo limite quando arrivi sull'origine da esse)

Su qualunque altra curva usi per avvicinarti all'origine, puoi usare la relazione di asintotico $sin(x^2+xy) sim x^2+xy$.

A questo punto passi alle coordinate polari, e vedi cosa succede per le tue due funzioni.

P.S. ti conviene aspettare qualcun altro che dica la sua

[K.Lomax]

Senza controllare l'esercizio vedo subito un errore:

[tex]|x^2+y^2|>1[/tex]

Per [tex]0

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[Darèios89]

Purtroppo non abbiamo fatto le coordinate polari, quindi non saprei cosa fare..

[Steven11]

E' molto semplice e ci sei praticamente arrivato. La prima diseguaglianza non va bene, però hai notato che avvicinandoti a zero lungo punti tali che [tex]$x=y$[/tex], hai limite [tex]$1$[/tex]
Se ti avvicini lungo l'asse [tex]$y$[/tex], ovvero ponendo [tex]$x=0$[/tex], il limite è zero essendo zero la funzione in tutti quei punti.
Questo che significa, quindi?

[Darèios89]

Se pongo x=0 non ho una forma indeterminata:

[tex]\frac{\sin(0)}{y^2}[/tex] ?

[Darèios89]

Forse posso dire facendo la restrizione x=0 che:

[tex]\frac{\sin(0)}{y^2}\leq\sin(0)[/tex] per ogni y doverso da 0, converge a 0 per il teorema del confronto e dunque il limite di partenza non esiste poichè una restrizione ha limite 1.

Per il secondo limite invece considerando sempre una prima restrizione si trova che il limite vale 0, se si fa la restrizione x=0 si dovrebbe ottenere con un confronto simile a quello di prima(nella speranza che sia corretto) il limite fa sempre 0.
Dunque quel limite dovrebbe essere 0.