Limiti di funzioni di due variabili
Salve a tutti avrei un problema a capire un passaggio che la mia professoressa ha usato più volte nella risoluzione di limiti (in altre rare occasioni):
Prendiamo ad esempio l'esercizio:
$\lim_{x,y\ to 0,0} \frac{x^(4/3) y(1+x)}{x^2+y^2}$
Cerchiamo il possibile candidato:
$f(x,0) = 0, AA x \in \RR-\{0\}$
$f(0,y) = 0, AA y \in \RR-\{0\}$
Dunque possiamo dire che se il limite esiste allora vale $0$
Procediamo a maggiorare l'argomento del limite e vedere se il limite è $0$ e così usare infine il teorema dei carabinieri. Usiamo la seguente catena di disuguaglianze:
$0 <= |f(x,y) -0| <= \frac {|x|^(4/3) |y||1+x|}{x^2+y^2}$ e notando che:
$|x| <= \sqrt{x^2+y^2} \to 0 $ quando $(x,y) \to (0,0)$ otteniamo che $|x| \to 0$, analogamente per $y$
Fin qui tutto ok. Poi sostituiamo nell'ultima disuguaglianza:
$<= \frac {(\sqrt{x^2+y^2})^(4/3) \sqrt{x^2+y^2}(1+o(1))}{(\sqrt{x^2+y^2})^2}$
poi semplificando e vedendo a cosa tendono i termini restanti troviamo che il limite, se esiste, è $0$.
Il mio problema è: da dove è uscito quel termine $1+o(1)$. Cioè, il termine $|1+x|$ tende a $1, x \to 0$ quindi avremmo ottenuto lo stesso risultato no? Cosa si intende per o(1) e come lo ricaviamo dall'espressione $|1+x|$? Quell' o piccolo è un quantità che dovrebbe tendere a $0$ e quindi alla fine quel termine $1+o(1)$ tende effettivamente a $1$?
Altro caso che mi è capitato:
Stessa identica situazione: arriviamo alla disuguaglianza:
$0 <= \frac{|x|log(1+|y|)}{(x^2+y^2)^(1/3)}$. Poi la professoressa ha detto che applicando la sostituzione $t = |y|$ e usando lo sviluppo al primo ordine di $log(1+f(x))$ otteniamo $\frac{|x||y|(1+o(1))}{(x^2+y^2)^(1/3)} $
Non ho idea da come abbia ottenuto di nuovo quel termine isolando addirittura $|y|$. Lo sviluppo di $log(1+t)$ al primo ordine sapevo fosse $t+o(t)$.
Se qualcuno potesse aiutarmi a capire cosa è stato fatto in entrambi i casi mi sarebbe di grande aiuto. Ringrazio già chi avrà voglia di rispondere. Sankyu
Prendiamo ad esempio l'esercizio:
$\lim_{x,y\ to 0,0} \frac{x^(4/3) y(1+x)}{x^2+y^2}$
Cerchiamo il possibile candidato:
$f(x,0) = 0, AA x \in \RR-\{0\}$
$f(0,y) = 0, AA y \in \RR-\{0\}$
Dunque possiamo dire che se il limite esiste allora vale $0$
Procediamo a maggiorare l'argomento del limite e vedere se il limite è $0$ e così usare infine il teorema dei carabinieri. Usiamo la seguente catena di disuguaglianze:
$0 <= |f(x,y) -0| <= \frac {|x|^(4/3) |y||1+x|}{x^2+y^2}$ e notando che:
$|x| <= \sqrt{x^2+y^2} \to 0 $ quando $(x,y) \to (0,0)$ otteniamo che $|x| \to 0$, analogamente per $y$
Fin qui tutto ok. Poi sostituiamo nell'ultima disuguaglianza:
$<= \frac {(\sqrt{x^2+y^2})^(4/3) \sqrt{x^2+y^2}(1+o(1))}{(\sqrt{x^2+y^2})^2}$
poi semplificando e vedendo a cosa tendono i termini restanti troviamo che il limite, se esiste, è $0$.
Il mio problema è: da dove è uscito quel termine $1+o(1)$. Cioè, il termine $|1+x|$ tende a $1, x \to 0$ quindi avremmo ottenuto lo stesso risultato no? Cosa si intende per o(1) e come lo ricaviamo dall'espressione $|1+x|$? Quell' o piccolo è un quantità che dovrebbe tendere a $0$ e quindi alla fine quel termine $1+o(1)$ tende effettivamente a $1$?
Altro caso che mi è capitato:
Stessa identica situazione: arriviamo alla disuguaglianza:
$0 <= \frac{|x|log(1+|y|)}{(x^2+y^2)^(1/3)}$. Poi la professoressa ha detto che applicando la sostituzione $t = |y|$ e usando lo sviluppo al primo ordine di $log(1+f(x))$ otteniamo $\frac{|x||y|(1+o(1))}{(x^2+y^2)^(1/3)} $
Non ho idea da come abbia ottenuto di nuovo quel termine isolando addirittura $|y|$. Lo sviluppo di $log(1+t)$ al primo ordine sapevo fosse $t+o(t)$.
Se qualcuno potesse aiutarmi a capire cosa è stato fatto in entrambi i casi mi sarebbe di grande aiuto. Ringrazio già chi avrà voglia di rispondere. Sankyu
Risposte
"SteezyMenchi":
Il mio problema è: da dove è uscito quel termine $1+o(1)$. Cioè, il termine $|1+x|$ tende a $1, x \to 0$ quindi avremmo ottenuto lo stesso risultato no? Cosa si intende per o(1) e come lo ricaviamo dall'espressione $|1+x|$? Quell' o piccolo è un quantità che dovrebbe tendere a $0$ e quindi alla fine quel termine $1+o(1)$ tende effettivamente a $1$?
Si è come dici, anche secondo me è un tantinello superfluo in questo caso e tendenzialmente tendo a non usare la notazione di $o$ e $O$ nei limiti in più variabili, possono confondere secondo me.
In ogni caso è un argomento che dovresti già sapere da analisi 1 se studi i limiti in più variabili.
$0 <= \frac{|x|log(1+|y|)}{(x^2+y^2)^(1/3)}$. Poi la professoressa ha detto che applicando la sostituzione $t = |y|$ e usando lo sviluppo al primo ordine di $log(1+f(x))$ otteniamo $\frac{|x||y|(1+o(1))}{(x^2+y^2)^(1/3)} $
Non ho idea da come abbia ottenuto di nuovo quel termine isolando addirittura $|y|$. Lo sviluppo di $log(1+t)$ al primo ordine sapevo fosse $t+o(t)$.
Eh, se non conosci questa parte della teoria devi asolutamente rimediare, così capirai bene questo tipo di passaggi, ad esempio in questo caso ha sfruttato $t+o(t)=t(1+o(1))$.
Sucsa Otta ma nell'ultima non basta per esempio fare: $t+o(t) = t+ t (o(t))/t) = t(1+(o(t))/t) = f \cdot o(g) = o(fg), f = 1/t \Rightarrow t(1+o(1))$
Spero non sia questa la giustificazione di quel passaggio e che stia commettendo qualche errore. Se fosse questa ho davvero overthinkato troppo su questa cosa
Spero non sia questa la giustificazione di quel passaggio e che stia commettendo qualche errore. Se fosse questa ho davvero overthinkato troppo su questa cosa
Si, sostanzialmente è quella la giustificazione.
Comunque, ho ricontrollato e nell'acerbi-buttazzo non compare nemmeno una volta l'espressione $o(1)$, mentre online l'ho trovata $f(x) = o(1)$ come sinonimo di $f(x) \to 0, x \to x_0$
Beh, segue dalla definizione che significa quello.
Grazie mille Otta per il feedback. Per fortuna era più banale del previsto, pensavo mi fossi perso qualche pezzo di teoria importante ad analisi 
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