Limiti di Funzioni di due Variabili
Tra gli esercizi che ho affrontato per quanto riguarda questo argomento ci sono due limiti (che poi sono uno "propedeutico" per l'altro...almeno secondo il libro!) che mi hanno dato particolare problemi.
$lim_((x,y)->(0,0))(|x|^{a} |y|^{b})/(x^4 +y^2)^c $
$lim_((x,y)->(0,0))(1-e^{x^3 y^2})/(x^6 +y^4) $
Ovviamente nel primo caso chiede di trovare i valori di a,b,c per cui il limite sia finito.
In entrambi i casi mi sono affidato alle coordinate polari con cui però: nel primo caso non riesco ad arrivare da nessuna parte mentre nel secondo arrivo ad un risultato sbagliato!
Ringrazio in anticipo chiunque mi aiuterà a capire bene come risolvere il problema!
$lim_((x,y)->(0,0))(|x|^{a} |y|^{b})/(x^4 +y^2)^c $
$lim_((x,y)->(0,0))(1-e^{x^3 y^2})/(x^6 +y^4) $
Ovviamente nel primo caso chiede di trovare i valori di a,b,c per cui il limite sia finito.
In entrambi i casi mi sono affidato alle coordinate polari con cui però: nel primo caso non riesco ad arrivare da nessuna parte mentre nel secondo arrivo ad un risultato sbagliato!
Ringrazio in anticipo chiunque mi aiuterà a capire bene come risolvere il problema!
Risposte
Inizia, ad esempio, a considerare il caso \(c>0\). Puoi poi ricondurti al caso \(c=1\), dal momento che il limite può essere riscritto come
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \left(\frac{|x|^{\alpha} |y|^{\beta}}{x^4+y^2}\right)^c
\]
con \(\alpha := a/c\), \(\beta := b/c\).
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \left(\frac{|x|^{\alpha} |y|^{\beta}}{x^4+y^2}\right)^c
\]
con \(\alpha := a/c\), \(\beta := b/c\).
Rigel, intanto ti ringrazio della risposta, però non capisco ugualmente come risolverlo. Una volta posto alfa, beta e c in quel modo passo al limite. Ma come lo devo studiare? Io passo in coordinate polari e ottengo nuovamente un risultato che non è quello del libro! Se gentilmente qualcuno potesse fare tutti i passaggi sarebbe meglio...sinceramente non capisco cosa sbaglio...anzi mi preoccupa perchè, se l'errore sta nell'uso che ho fatto delle coordinate polari, vorrebbe dire che dovrei rifare un bel po' di esercizi!
Consideriamo il caso \(c=1\) (che, come abbiamo visto, è sufficiente).
Come ulteriore semplificazione supponiamo anche \(\alpha, \beta > 0\) (con qualche modifica si possono trattare comunque anche gli altri casi).
Dimostriamo che il limite esiste se e solo se \(\alpha + 2\beta > 4\).
1. Facciamo prima vedere che, se \(\alpha + 2\beta \leq 4\), allora il limite non esiste.
Considerando la restrizione
\[
f(x, x^2) = \frac{|x|^{\alpha+2\beta}}{2x^4},\qquad x\neq 0
\]
vediamo subito che, nel caso considerato, \(\lim_{x\to 0} f(x, x^2) = +\infty\).
2. Dimostriamo ora che il limite esiste (ed è nullo) se \(\alpha+2\beta > 4\). Se \(\alpha \geq 4\) o \(\beta \geq 2\) si può fare una maggiorazione immediata che dimostra che il limite esiste e fa \(0\).
Rimane da considerare caso \(0 < \alpha < 4\), \(0 < \beta < 2\). Ricordiamo la disuguaglianza di Young:
Nel nostro caso la useremo nella forma
\[
(Y)\qquad |x|^{\alpha}\cdot |y|^{\beta} \leq \frac{|x|^{\alpha p}}{p}+\frac{|y|^{\beta q}}{q}\qquad \forall x,y\in\mathbb{R}.
\]
Chiaramente, se siamo in grado di trovare \(p, q > 1\) tali che
\[
(S)\qquad
\begin{cases}
\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1,\\
\alpha p > 4, \\
\beta q > 2,
\end{cases}
\]
con una maggiorazione immediata possiamo dimostrare che il limite di partenza esiste e vale \(0\).
Tenendo conto che \(0<\alpha < 4\) e \(0<\beta < 2\), si dimostra senza grossa fatica che esistono \(p,q\) soddisfacenti (S) se e solo se \(\alpha+2\beta > 4\).
PS: se non ti piace questa dimostrazione, poni \(z=x^2\) e considera la funzione
\[
g(z,y) = \frac{|z|^{2\alpha}|y|^{\beta}}{z^2+y^2}\,.
\]
Su questa funziona bene il metodo delle coordiate polari.
Come ulteriore semplificazione supponiamo anche \(\alpha, \beta > 0\) (con qualche modifica si possono trattare comunque anche gli altri casi).
Dimostriamo che il limite esiste se e solo se \(\alpha + 2\beta > 4\).
1. Facciamo prima vedere che, se \(\alpha + 2\beta \leq 4\), allora il limite non esiste.
Considerando la restrizione
\[
f(x, x^2) = \frac{|x|^{\alpha+2\beta}}{2x^4},\qquad x\neq 0
\]
vediamo subito che, nel caso considerato, \(\lim_{x\to 0} f(x, x^2) = +\infty\).
2. Dimostriamo ora che il limite esiste (ed è nullo) se \(\alpha+2\beta > 4\). Se \(\alpha \geq 4\) o \(\beta \geq 2\) si può fare una maggiorazione immediata che dimostra che il limite esiste e fa \(0\).
Rimane da considerare caso \(0 < \alpha < 4\), \(0 < \beta < 2\). Ricordiamo la disuguaglianza di Young:
se \(p,q > 1\) sono tali che \(1/p + 1/q = 1\), allora
\[
|w|\cdot |z| \leq \frac{|w|^p}{p}+\frac{|z|^q}{q}\qquad \forall w,z\in\mathbb{R}.
\]
Nel nostro caso la useremo nella forma
\[
(Y)\qquad |x|^{\alpha}\cdot |y|^{\beta} \leq \frac{|x|^{\alpha p}}{p}+\frac{|y|^{\beta q}}{q}\qquad \forall x,y\in\mathbb{R}.
\]
Chiaramente, se siamo in grado di trovare \(p, q > 1\) tali che
\[
(S)\qquad
\begin{cases}
\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1,\\
\alpha p > 4, \\
\beta q > 2,
\end{cases}
\]
con una maggiorazione immediata possiamo dimostrare che il limite di partenza esiste e vale \(0\).
Tenendo conto che \(0<\alpha < 4\) e \(0<\beta < 2\), si dimostra senza grossa fatica che esistono \(p,q\) soddisfacenti (S) se e solo se \(\alpha+2\beta > 4\).
PS: se non ti piace questa dimostrazione, poni \(z=x^2\) e considera la funzione
\[
g(z,y) = \frac{|z|^{2\alpha}|y|^{\beta}}{z^2+y^2}\,.
\]
Su questa funziona bene il metodo delle coordiate polari.
Grazie mille Rigel....diciamo che io mi sono un po' fissato con le coordinate polari, se pure il libro non le usi mai, perchè ho visto che spesso mi hanno portato a risolvere l'esercizio, soprattutto nei casi in cui il limite esiste. Il libro per questo esercizio con una serie di confronti diversi dai tuoi arrivava, ovviamente, al tuo stesso risultato. Però dato che molti altri esercizi, che il libro risolveva sempre attraverso confronti, li ero riuscito a risolvere con le coordinate polari non capivo come mai questo invece mi risultava così ostico. Ti ringrazio per i passagi che hai fatto e anche per il suggerimento per l'uso delle coordinate polari in questo esercizio!
Un ultima cosa, sempre sulle coordinate polari e i limiti. Se ho questo caso:
$lim_(\rho->0)(\rho^5 cos^3(\theta) sen^2(\theta))/(\rho^2 (\rho^4 cos^6(\theta) + sen^2(\theta))) $
Ho dei problemi a dire che $ lim_(\rho->0) f(\rho)=0 $
Un ultima cosa, sempre sulle coordinate polari e i limiti. Se ho questo caso:
$lim_(\rho->0)(\rho^5 cos^3(\theta) sen^2(\theta))/(\rho^2 (\rho^4 cos^6(\theta) + sen^2(\theta))) $
Ho dei problemi a dire che $ lim_(\rho->0) f(\rho)=0 $
Il fatto è che, spesso, l'uso delle coordinate polari complica i calcoli (anziché semplificarli).
Per quanto riguarda la tua ultima domanda, ad esempio, è più semplice osservare che
\[
\frac{|x^3 y^2|}{x^6+y^2} \leq \frac{|x|^3 |y|}{x^6+y^2}\, \cdot |y| \leq \frac{1}{2}\, |y|,
\]
dove si usa solo la disuguaglianza elementare (che è un caso particolare di quella di Young)
\[
|ab| \leq \frac{1}{2}(a^2+b^2).
\]
Per quanto riguarda la tua ultima domanda, ad esempio, è più semplice osservare che
\[
\frac{|x^3 y^2|}{x^6+y^2} \leq \frac{|x|^3 |y|}{x^6+y^2}\, \cdot |y| \leq \frac{1}{2}\, |y|,
\]
dove si usa solo la disuguaglianza elementare (che è un caso particolare di quella di Young)
\[
|ab| \leq \frac{1}{2}(a^2+b^2).
\]
Ho capito...
Però, sul limite che ho scritto in coordinate polari, guardandolo e studiandolo avrei potuto dire che tendeva a zero oppure avevo qualche problema? In poche parole...il limite di partenza era proprio quello che hai scritto tu e io, complicandomi la vita, mi sono ricondotto a quello in coordinate polari. Ora, una volta arrivato a quel limite, avrei potuto dire che tende a zero oppure mi sarei dovuto accorgere di qualche problema che esso presenta se scritto in quel modo?
Però, sul limite che ho scritto in coordinate polari, guardandolo e studiandolo avrei potuto dire che tendeva a zero oppure avevo qualche problema? In poche parole...il limite di partenza era proprio quello che hai scritto tu e io, complicandomi la vita, mi sono ricondotto a quello in coordinate polari. Ora, una volta arrivato a quel limite, avrei potuto dire che tende a zero oppure mi sarei dovuto accorgere di qualche problema che esso presenta se scritto in quel modo?
In \(\mathbb{R}^2\) l'uso delle coordinate polari è equivalente all'uso delle coordinate di partenza, nel senso che
\[
\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = l\quad\Longleftrightarrow\quad
\lim_{\rho\to 0+} \sup_{\theta\in [0,2\pi]} |f(x_0+\rho\cos\theta, y_0+\rho\sin\theta) - l| = 0.
\]
Si tratta quindi di vedere in che modo è più semplice effettuare i calcoli (ma il risultato deve essere lo stesso).
Visto che a me non piace la trigonometria, non uso mai le coordinate polari
\[
\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = l\quad\Longleftrightarrow\quad
\lim_{\rho\to 0+} \sup_{\theta\in [0,2\pi]} |f(x_0+\rho\cos\theta, y_0+\rho\sin\theta) - l| = 0.
\]
Si tratta quindi di vedere in che modo è più semplice effettuare i calcoli (ma il risultato deve essere lo stesso).
Visto che a me non piace la trigonometria, non uso mai le coordinate polari
Quello che dici lo ho capito. La mia domanda era più semplice: ti stavo solo chiedendo se quel limite scritto in coordinate polari avesse al suo interno qualche forma indeterminata (che sò un denominatore che si annulla o qualcosa del genere) di cui eventualmente non mi sarei accorto quando ho tratto la conclusione che quel limite fosse zero!
Ti chiedo questo perchè nel limite che tu mi hai spiegato io avevo utilizzato, male, le coordinate polari e arrivavo ad una situazione del genere:
$ x= \rho cos(\theta) $
$ y= \rho sen(\theta) $
$ lim_(\rho->0) (|\rho^a| |cos^a(\theta)| |\rho^b| |sen^b(\theta)|)/(\rho^4 cos^4(\theta) + \rho^2 sen^(\theta))^c = lim_(\rho->0) (|\rho ^(a+b)| |(cos^a (\theta) sen^b (\theta))|)/(\rho^(2c) (\rho^2 cos^4(\theta) + sen^2 (\theta))^c) $
Studiando il secondo limite ero portato a dire che convergeva per $ a+b-2c>0 $ e invece così non è!
Ti chiedo questo perchè nel limite che tu mi hai spiegato io avevo utilizzato, male, le coordinate polari e arrivavo ad una situazione del genere:
$ x= \rho cos(\theta) $
$ y= \rho sen(\theta) $
$ lim_(\rho->0) (|\rho^a| |cos^a(\theta)| |\rho^b| |sen^b(\theta)|)/(\rho^4 cos^4(\theta) + \rho^2 sen^(\theta))^c = lim_(\rho->0) (|\rho ^(a+b)| |(cos^a (\theta) sen^b (\theta))|)/(\rho^(2c) (\rho^2 cos^4(\theta) + sen^2 (\theta))^c) $
Studiando il secondo limite ero portato a dire che convergeva per $ a+b-2c>0 $ e invece così non è!
Il problema è che prima devi calcolare/stimare il \(\sup\) in \(\theta\); tipicamente è quello che richiede conti oppure stime.
Ok, ti ringrazio...praticamente devo cercare di limitare l'uso delle coordinate polari...e usarle possibilmente solo dove sparisce $ \theta $ 
Direi di sì; poi, ognuno può procedere come meglio crede.
Io, finora, non ho mai sentito la necessità di calcolare un limite usando le coordinate polari
Io, finora, non ho mai sentito la necessità di calcolare un limite usando le coordinate polari
"Rigel":
Io, finora, non ho mai sentito la necessità di calcolare un limite usando le coordinate polari
Really?
I understand you do not love the trigonometry but... never... do you ever need trigonometry?
[size=70]sorry for my English, I'm making exercise (I studied French)[/size]
Mai per calcolare un limite.
Per il resto, il meno possibile.
Per il resto, il meno possibile.
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