Limiti di funzioni continue

[SteezyMenchi]

Salve a tutti avrei da risolvere questo limite
$lim_(x -> 3^+) (sqrt(x^2-9)-(x-3))/(e^-(1/(x^2-9)))$
Io ho fatto così: l' $(x-3)$ al numeratore tende a zero perciò possiamo anche 'ignorarlo'
l'esponenziale lo porto a numeratore dato che ha esponente negativo e poi provo a fare un cambio di variabile
pongo $t= x^2-9$ e quindi ho
$lim_(t -> 0^+) sqrt(t)*e^(1/t)$
e qui mi sono bloccato perché non riesco a liberarmi della forma indeterminata
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà

[pilloeffe]

Ciao SteezyMenchi,

De-razionalizzerei:

$ \lim_{x \to 3^+}(sqrt(x^2-9)-(x-3))/(e^-(1/(x^2-9))) = \lim_{x \to 3^+} ([sqrt(x^2-9)-(x-3)][sqrt(x^2-9)+(x-3)])/(e^-(1/(x^2-9))[sqrt(x^2-9)+(x-3)]) = $
$ = \lim_{x \to 3^+} (x^2-9 -(x-3)^2)/(e^-(1/(x^2-9))[sqrt(x^2-9)+(x-3)]) = \lim_{x \to 3^+} (x^2-9 - x^2 + 6x - 9)/(e^-(1/(x^2-9))[sqrt(x^2-9)+(x-3)]) = $
$ = \lim_{x \to 3^+} (6x - 18)/(e^-(1/(x^2-9))[sqrt(x^2-9)+(x-3)]) = 6 \cdot \lim_{x \to 3^+} (x - 3)/(e^-(1/(x^2-9))[sqrt(x^2-9)+(x-3)]) = $
$ = 6 \cdot \lim_{x \to 3^+} (x - 3)/(e^-(1/(x^2-9))[sqrt{(x - 3)(x + 3)}+(x-3)]) = 6 \cdot \lim_{x \to 3^+} 1/(e^-(1/(x^2-9))[sqrt{(x + 3)/(x - 3)}+ 1]) = $
$ = 6 \cdot \lim_{x \to 3^+} e^(1/(x^2-9))/(sqrt{(x + 3)/(x - 3)}+ 1) $

Ora per $x \to 3^+ $ sia il numeratore che il denominatore risultano $+\infty $, ma il numeratore è un esponenziale pertanto "vince" lui ed in definitiva per il limite proposto si ha:

$ \lim_{x \to 3^+}(sqrt(x^2-9)-(x-3))/(e^-(1/(x^2-9))) = +\infty $

[SteezyMenchi]

Grazie Pillo speriamo che l'esonero vada bene giovedì