Limiti di funzioni composte
Sto leggendo lo Zorich, Mathematical Analysis I; in particolare il paragrafo sui limiti di funzioni composte.
Ho un dubbio sull'enunciato del teorema proposto, che riporto integralmente;
La mia semplice domanda è: non manca l'ipotesi che $f$ debba essere suriettiva? Altrimenti chi mi assicura che \(\displaystyle (g\circ f)(x) \) sia ben definita?
E' così oppure mi sono perso qualcosa di fondamentale riguardo la composizione di funzioni?
Grazie.
Ho un dubbio sull'enunciato del teorema proposto, che riporto integralmente;
Let $Y$ be a set, $\mathcal{B}_Y$ a base in $Y$ and $g:Y\to\mathbb{R}$ a mapping having a limit over the base $\mathcal{B}_Y$. Let $X$ be a set, $\mathcal{B}_X$ a base in $X$ and $f:X\to Y$ a mapping of $X$ into $Y$ such that for every element $B_Y\in\mathcal{B}_Y$ there exists $B_X\in\mathcal{B}_X$ whose image $f(B_X)$ is contained in $B_Y$.
Under these hypotheses, the composition \(\displaystyle g\circ f:X\to\mathbb{R} \) of the mappings $f$ and $g$ is defined and has a limit over the base $\mathcal{B}_X$ and $\lim_{\mathcal{B}_X}(g\circ f)(x)=\lim_{\mathcal{B}_Y}g(y)$.
La mia semplice domanda è: non manca l'ipotesi che $f$ debba essere suriettiva? Altrimenti chi mi assicura che \(\displaystyle (g\circ f)(x) \) sia ben definita?
E' così oppure mi sono perso qualcosa di fondamentale riguardo la composizione di funzioni?
Grazie.
Risposte
Se ho capito bene tu hai \(f\colon X\to Y\) e \(g\colon Y\to \mathbb R\). E allora, pure se \(f\) non è suriettiva, \(g\circ f\) è definita: infatti per ogni \(x\in X\), \(f(x)\in Y\) e \(g(f(x))\in\mathbb R\).
Ora faccio una domanda stupida...
In generale una funzione $h:A\to B$ per essere chiamata tale non deve essere definita su ogni elemento di $A$?
In generale una funzione $h:A\to B$ per essere chiamata tale non deve essere definita su ogni elemento di $A$?
Certamente. In questo caso, \(g\circ f\) è definita su \(X\). Per ogni elemento di \(X\), \(g\circ f (x)\) è definita da \(g(f(x))\).
Uh, è vero, grazie.
Ho un'ultima domanda sempre su questo argomento.
Prendendo l'esempio in cui \(\displaystyle g(y)=|\text{sgn}(y)| \) e \(\displaystyle f(x)=x\sin \left(\frac{1}{x}\right) \), dove $f$ ha come dominio \(\displaystyle \mathbb{R}\setminus \{0\} \) mentre $g$ ha come dominio \(\displaystyle \mathbb{R}\), allora ho che:
$$\lim_{\mathbb{R}\ni y\to 0}g(y)=1$$
$$\lim_{\mathbb{R}\ni x\to 0}f(y)=0$$
e voglio calcolare:
$$\lim_{\mathbb{R}\ni x\to 0}g(f(y))=\lim_{\mathbb{R}\ni x\to 0} \left | \text{sgn}\left ( x \sin\left ( \frac{1}{x} \right ) \right ) \right |$$
Questo limite ovviamente non esiste, eppure sembra che le ipotesi del teorema vengano rispettate tutte.
In questo caso particolare infatti la base \(\displaystyle \mathcal{B}_Y \) è rappresentata dall'insieme degli intorni dello $0$ in \(\displaystyle \mathbb{R} \), così come ugualmente \(\displaystyle \mathcal{B}_X \).
Mi basta dunque far vedere che per ogni \(\displaystyle B_Y \in \mathcal{B}_Y \) (per ogni intorno dello $0$) esiste un \(\displaystyle B_X \in \mathcal{B}_X \) (esiste un altro intorno dello $0$) tale che \(\displaystyle f(B_X)\subset B_Y \).
Sembra sia vero, infatti preso un generico intorno \(\displaystyle \overset{\circ}{U}_\mathbb{R}(0) =\{x\in\mathbb{R} | \alpha0, x \neq 0\}\) posso scrivere che per ogni \(\displaystyle x \in\overset{\circ}{U}_\mathbb{R}(0) \):
$$ |f(x)|=|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)|<|x|<\max\{\alpha,\beta\} $$
e siccome posso scegliere \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) arbitrariamente piccoli, posso mappare \(\displaystyle \overset{\circ}{U}_\mathbb{R}(0) \) in un intorno dello $0$ piccolo a piacere.
Dove sbaglio?
Ho un'ultima domanda sempre su questo argomento.
Prendendo l'esempio in cui \(\displaystyle g(y)=|\text{sgn}(y)| \) e \(\displaystyle f(x)=x\sin \left(\frac{1}{x}\right) \), dove $f$ ha come dominio \(\displaystyle \mathbb{R}\setminus \{0\} \) mentre $g$ ha come dominio \(\displaystyle \mathbb{R}\), allora ho che:
$$\lim_{\mathbb{R}\ni y\to 0}g(y)=1$$
$$\lim_{\mathbb{R}\ni x\to 0}f(y)=0$$
e voglio calcolare:
$$\lim_{\mathbb{R}\ni x\to 0}g(f(y))=\lim_{\mathbb{R}\ni x\to 0} \left | \text{sgn}\left ( x \sin\left ( \frac{1}{x} \right ) \right ) \right |$$
Questo limite ovviamente non esiste, eppure sembra che le ipotesi del teorema vengano rispettate tutte.
In questo caso particolare infatti la base \(\displaystyle \mathcal{B}_Y \) è rappresentata dall'insieme degli intorni dello $0$ in \(\displaystyle \mathbb{R} \), così come ugualmente \(\displaystyle \mathcal{B}_X \).
Mi basta dunque far vedere che per ogni \(\displaystyle B_Y \in \mathcal{B}_Y \) (per ogni intorno dello $0$) esiste un \(\displaystyle B_X \in \mathcal{B}_X \) (esiste un altro intorno dello $0$) tale che \(\displaystyle f(B_X)\subset B_Y \).
Sembra sia vero, infatti preso un generico intorno \(\displaystyle \overset{\circ}{U}_\mathbb{R}(0) =\{x\in\mathbb{R} | \alpha
$$ |f(x)|=|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)|<|x|<\max\{\alpha,\beta\} $$
e siccome posso scegliere \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) arbitrariamente piccoli, posso mappare \(\displaystyle \overset{\circ}{U}_\mathbb{R}(0) \) in un intorno dello $0$ piccolo a piacere.
Dove sbaglio?
Buh. Ma sicuramente il problema è che quella roba può assumere il valore 0 infinite volte, non importa quanto piccolo prendi x.
Appunto, per questo il limite ovviamente non esiste.
Però perché sembra che le ipotesi del teorema siano soddisfatte?
Però perché sembra che le ipotesi del teorema siano soddisfatte?
Buh, non lo so e non penso mettermi a sviscerarlo. Non mi sembra così interessante, francamente. Sicuramente ci sarà qualche cosetta che fallisce a causa del fatto che la funzione salta bruscamente tra \(0\) e \(1\) infinite volte, e quindi qualcuna di quelle proprietà deve fallire.
"Ianero":
i \(\displaystyle g(y)=|\text{sgn}(y)| \) e \(\displaystyle f(x)=x\sin \left(\frac{1}{x}\right) \), dove $f$ ha come dominio \(\displaystyle \mathbb{R}\setminus \{0\} \) mentre $g$ ha come dominio \(\displaystyle \mathbb{R}\)
Intendi che $g(0)=0$?
Se sì, il motivo per cui il teorema non si applica è che non esiste un intorno $U$ di $0$ tale che $g(x)!=0AAx\inU-{0}$.
P.S. Io ho fatto riferimento al teorema come lo conosco io, non ho mi è chiara la tua formulazione, per esempio non capisco nemmeno cosa intendi per base di un insieme, ma sono convinto che siano formulazioni equivalenti.
Mi hai fatto capire dove sta il problema, grazie.
Grazie anche a @dissonance.
Grazie anche a @dissonance.
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