Limiti di funzioni a più variabili
Se c'è mai stata scelta più infelice di questa, non l'ho ancora vista.
Da due anni a questa parte il politecnico di Torino ha deciso di spostare 4 crediti da Analisi 2 (che prima valeva 10 crediti, ed ora 6) all'esame di Algebra Lineare e Geometria del primo anno (che ora vale 10 crediti).
Dato che già il programma di Algebra Lineare e Geometria è sterminato, ovviamente la parte di analisi due aggiunta, che comprende lo studio delle funzioni in più variabili è stato fatto di fretta, con delle lacune incredibili, e per lo più con informazioni nozionistiche. Il motivo mi è totalmente oscuro.
Passare dalle 3 alle 4,5,6,7,8,... dimensioni è sicuramente meno "traumatico" del passare dalle 2 alle 3, dato che il significato di limite, si complica, e non poco.
Il mio problema è proprio questo, ho bisogno di qualcosa che mi aiuti quantomeno a comprendere i limiti, ma non con la profondità di un libro di testo, necessito di qualcosa che possa darmi un'idea generale per comprendere come calcolare i limiti.
Certo è che dopo aver studiato nei minimi dettagli qualsiasi cosa per tutto un semestre, per poi avere comunque l'acqua alla gola dato che 2 settimane prima dell'esame sono state spiegate funzioni in più variabili, quadriche e geometria differenziale, è abbastanza ridicolo, soprattutto dopo aver passato 3 mesi per fare due matrici e qualche prodotto scalare.
C'è qualcuno, con più esperienza in materia che possa indicarmi del materiale online o qualsiasi altra cosa? Grazie a chiunque voglia rispondere.
Da due anni a questa parte il politecnico di Torino ha deciso di spostare 4 crediti da Analisi 2 (che prima valeva 10 crediti, ed ora 6) all'esame di Algebra Lineare e Geometria del primo anno (che ora vale 10 crediti).
Dato che già il programma di Algebra Lineare e Geometria è sterminato, ovviamente la parte di analisi due aggiunta, che comprende lo studio delle funzioni in più variabili è stato fatto di fretta, con delle lacune incredibili, e per lo più con informazioni nozionistiche. Il motivo mi è totalmente oscuro.
Passare dalle 3 alle 4,5,6,7,8,... dimensioni è sicuramente meno "traumatico" del passare dalle 2 alle 3, dato che il significato di limite, si complica, e non poco.
Il mio problema è proprio questo, ho bisogno di qualcosa che mi aiuti quantomeno a comprendere i limiti, ma non con la profondità di un libro di testo, necessito di qualcosa che possa darmi un'idea generale per comprendere come calcolare i limiti.
Certo è che dopo aver studiato nei minimi dettagli qualsiasi cosa per tutto un semestre, per poi avere comunque l'acqua alla gola dato che 2 settimane prima dell'esame sono state spiegate funzioni in più variabili, quadriche e geometria differenziale, è abbastanza ridicolo, soprattutto dopo aver passato 3 mesi per fare due matrici e qualche prodotto scalare.
C'è qualcuno, con più esperienza in materia che possa indicarmi del materiale online o qualsiasi altra cosa? Grazie a chiunque voglia rispondere.
Risposte
Ho trovato un esempio che mi mette in difficoltà:
Verificare che:
$lim_((x,y)->(0,0))(1-x^2-y^2)=1$
Fancendo un ragionamento puramente teorico:
$0 <|(x;y)|< \delta $ $rArr$ $ $ $0
e
$-\epsilon<1-x^2-y^2-1<\epsilon$ $rArr$ $\epsilon>x^2+y^2> -\epsilon$
Arrivato qui non ho assolutamente idea di cosa fare... come devo proseguire?
Verificare che:
$lim_((x,y)->(0,0))(1-x^2-y^2)=1$
Fancendo un ragionamento puramente teorico:
$0 <|(x;y)|< \delta $ $rArr$ $ $ $0
e
$-\epsilon<1-x^2-y^2-1<\epsilon$ $rArr$ $\epsilon>x^2+y^2> -\epsilon$
Arrivato qui non ho assolutamente idea di cosa fare... come devo proseguire?
Secondo me la cosa migliore per imparare in fretta a metterli in pratica e' cercare esercizi svolti, se ne trovano facilmente tramite google.
Provo a riassumerti i concetti che ritengo basilari e forse sufficienti per capire come comportarsi:
Intanto di base, come fai nel caso a una variabile, nel caso di funzioni continue, dovresti sostituire i valori delle variabili nel punto nell'espressione, e se ottieni un risultato numerico, quello e' il valore del limite. Ovviamente quello che succede tipicamente negli esercizi e' che invece se si fa questa operazione si ottiene una forma indeterminata.
Quello che ti serve sapere essenzialmente e' che, mentre per le funzioni di una sola variabile c'e' un solo modo di avvicinarsi a un punto del dominio, cioe' muovendosi lungo l'asse x, per una funzione di 2 (o piu') variabili ci sono infinite possibili direzioni lungo le quali ci si puo' muovere verso un punto, ovvero tutte le curve del piano x-y passanti per il dato punto del dominio.
Se il limite esiste deve essere lo stesso lungo tutte le direzioni. Questo rende facile mostrare se un limite non esiste, perche' basta trovare due direzioni che danno un risultato diverso. Se per esempio stai calcolando il limite nell'origine, tipiche restrizioni che si controllano sono:
asse x, cioe' y=0;
asse y, cioe' x=0;
bisettrici, y=x, y=-x;
altre rette, o piu' genericamente y=mx
parabola, y=x^2
ovviamente puo' capitare di doverne usare altre, si intuisce dalla struttura della funzione, e' bene vedere esercizi per fare pratica.
In genere la prima cosa che faccio e' proprio di guardare queste restrizioni, cosi' se trovo risultati diversi, concludo che non esiste. Se invece tutte le prove che faccio mi danno lo stesso limite, sospetto che quello sia il valore del limite, e provo a dimostrarlo (ovviamente finche' non lo dimostro e' solo un sospetto, che puo' anche essere sbagliato).
Per dimostrarlo quello che cerchi di fare e' trovare la regione del piano, che soddisfa $|f(x,y) - l|< epsilon$ o almeno provare che questa contiene un intorno del punto, che e' la stessa cosa che fai in una variabile. La differenza e' che non hai mai una cosa risolvibile analiticamente, ma in genere passi attraverso una serie di minorazioni per semplificare la tua disequazione e trovarne una che e' evidentemente soddisfatta in un intorno del punto.
Eventualmente proponi alcuni esempi da svolgere, anche se ne trovano gia' svolti in rete.
Provo a riassumerti i concetti che ritengo basilari e forse sufficienti per capire come comportarsi:
Intanto di base, come fai nel caso a una variabile, nel caso di funzioni continue, dovresti sostituire i valori delle variabili nel punto nell'espressione, e se ottieni un risultato numerico, quello e' il valore del limite. Ovviamente quello che succede tipicamente negli esercizi e' che invece se si fa questa operazione si ottiene una forma indeterminata.
Quello che ti serve sapere essenzialmente e' che, mentre per le funzioni di una sola variabile c'e' un solo modo di avvicinarsi a un punto del dominio, cioe' muovendosi lungo l'asse x, per una funzione di 2 (o piu') variabili ci sono infinite possibili direzioni lungo le quali ci si puo' muovere verso un punto, ovvero tutte le curve del piano x-y passanti per il dato punto del dominio.
Se il limite esiste deve essere lo stesso lungo tutte le direzioni. Questo rende facile mostrare se un limite non esiste, perche' basta trovare due direzioni che danno un risultato diverso. Se per esempio stai calcolando il limite nell'origine, tipiche restrizioni che si controllano sono:
asse x, cioe' y=0;
asse y, cioe' x=0;
bisettrici, y=x, y=-x;
altre rette, o piu' genericamente y=mx
parabola, y=x^2
ovviamente puo' capitare di doverne usare altre, si intuisce dalla struttura della funzione, e' bene vedere esercizi per fare pratica.
In genere la prima cosa che faccio e' proprio di guardare queste restrizioni, cosi' se trovo risultati diversi, concludo che non esiste. Se invece tutte le prove che faccio mi danno lo stesso limite, sospetto che quello sia il valore del limite, e provo a dimostrarlo (ovviamente finche' non lo dimostro e' solo un sospetto, che puo' anche essere sbagliato).
Per dimostrarlo quello che cerchi di fare e' trovare la regione del piano, che soddisfa $|f(x,y) - l|< epsilon$ o almeno provare che questa contiene un intorno del punto, che e' la stessa cosa che fai in una variabile. La differenza e' che non hai mai una cosa risolvibile analiticamente, ma in genere passi attraverso una serie di minorazioni per semplificare la tua disequazione e trovarne una che e' evidentemente soddisfatta in un intorno del punto.
Eventualmente proponi alcuni esempi da svolgere, anche se ne trovano gia' svolti in rete.
Perfetto, per risolvere l'esempio che hai proposto, intanto e' gia' dato il risultato, quindi passiamo direttamente alla verifica.
Tu vuoi dimostrare che comunque scelto un $epsilon>0$ esiste un intorno dell'origine all'interno del quale la funzione differisce da $1$ per una quantita' piu' piccola di $epsilon$.
Come nel caso a 1 variabile parti dalla fine, cioe':
$-epsilon < 1-x^2-y^2-1 < epsilon$, e cerca di trovare un intorno dell'origine in cui questa vale.
$-epsilon < -x^2-y^2 < epsilon$
La disuguaglianza di destra e' banalmente sempre verificata per $epsilon > 0$, quindi concentrati su quella di sinistra, che puoi riscrivere come:
$x^2 + y^2 < epsilon$
Ma questo e' proprio l'interno di un cerchio di centro l'origine e raggio $sqrt(epsilon)$, che e' un intorno dell'origine, quindi hai finito.
Tu vuoi dimostrare che comunque scelto un $epsilon>0$ esiste un intorno dell'origine all'interno del quale la funzione differisce da $1$ per una quantita' piu' piccola di $epsilon$.
Come nel caso a 1 variabile parti dalla fine, cioe':
$-epsilon < 1-x^2-y^2-1 < epsilon$, e cerca di trovare un intorno dell'origine in cui questa vale.
$-epsilon < -x^2-y^2 < epsilon$
La disuguaglianza di destra e' banalmente sempre verificata per $epsilon > 0$, quindi concentrati su quella di sinistra, che puoi riscrivere come:
$x^2 + y^2 < epsilon$
Ma questo e' proprio l'interno di un cerchio di centro l'origine e raggio $sqrt(epsilon)$, che e' un intorno dell'origine, quindi hai finito.
Si ho già scaricato tutto il materiale da "calvino" e "cantor".
Grazie innanzitutto per l'idea generale che mi hai dato; Nel mio secondo post, nonostante sia sufficiente sostituire semplicemente x e y con 0 per verificarlo, avevo provato a farlo per via teorica, una volta arrivato a quel punto mi blocco, come dovrei fare?
Posso arrivare a qualche soluzione, quantomeno a qualche indizio sul limite, studiando le curve di livello della funzione?
Grazie innanzitutto per l'idea generale che mi hai dato; Nel mio secondo post, nonostante sia sufficiente sostituire semplicemente x e y con 0 per verificarlo, avevo provato a farlo per via teorica, una volta arrivato a quel punto mi blocco, come dovrei fare?
Posso arrivare a qualche soluzione, quantomeno a qualche indizio sul limite, studiando le curve di livello della funzione?
Quindi se mi è stato dato il valore del limite, per verificarlo mi basta dimostrare che ci sia un cerchio (per 2 variabili), una sfera (o ipersefera), o una qualsiasi regione del piano (o spazio) intorno a quel punto che soddisfi questo requisito?
Esatto. Ti dico solo che oltre che un cerchio puo' capitare di trovare un quadrato, un rettangolo, ma anche una striscia, cioe' non deve essere per forza una regione limitata del piano.
Ma graficamente tutto ciò come è riscontrabile?
Cioè la funzione che abbiamo visto prima, cioè $z=1-x^2-y^2$ graficamente è un paraboloide rovesciato, con "vertice" se cosi possiamo chiamarlo in $(0,0,1)$.
quindi praticamente l'interpretazione che diamo graficamente, è che preso un cerchio intorno all'origine, tutti i punti della funzione, immagini dei punti di quel cerchio sono del tipo $(0,0,1+-\epsilon)$
o sbaglio qualcosa?
Cioè la funzione che abbiamo visto prima, cioè $z=1-x^2-y^2$ graficamente è un paraboloide rovesciato, con "vertice" se cosi possiamo chiamarlo in $(0,0,1)$.
quindi praticamente l'interpretazione che diamo graficamente, è che preso un cerchio intorno all'origine, tutti i punti della funzione, immagini dei punti di quel cerchio sono del tipo $(0,0,1+-\epsilon)$
o sbaglio qualcosa?
ovviamente per quanto piccolo questo cerchio possa essere
No, fissate $x$ e $y$ c'è un solo $z$ corrispondente.
Quindi i punti saranno del tipo $(x,y,z)$ con $1-epsilon < z < 1+epsilon$, a patto che il cerchio scelto sia abbastanza piccolo.
Quindi i punti saranno del tipo $(x,y,z)$ con $1-epsilon < z < 1+epsilon$, a patto che il cerchio scelto sia abbastanza piccolo.
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