Limiti di funzioni a due variabili

[streghettaalice]

Nello studiare il limite $lim_ ((x,y) to ( 0 0) ) (1-e^(x^3y^2)) /(x^6+ y^4)$ ho utilizzato il limite della restizione e quindi calcolato $ lim _ (x to 0) f(x, mx)$ ottenendo 0. Solo che vedendo poi le soluzioni del libro noto che li si è calcolata il $ lim _ (x to 0 ) f(x, mx^(2/3))$ ottenendo così un risultato diverso..
A questo punto mi chiedo perchè il libro ha scelto quel tipo di restrizione cioè $f$ ristretta in $A=( (x,mx^(2/3); m in RR) $ e non $A=((x,mx); m in RR)

[Rigel1]

Guarda il denominatore e cerca di renderlo omogeneo (stessa potenza di $x$ nei due termini una volta fatta la sostituzione).
Per questo motivo penso che il libro abbia usato la sostituzione $y = m x^{3/2}$, e non $y=m x^{2/3}$.

[streghettaalice]

e nel caso invece del limite $lim log(1+x^3y^2) /(x^6+y^2)$ ho fatto come tu dici ( cioè sostituito $y= mx^3$) ma poi non esce 0 come dovrebbe..

[Rigel1]

Come no?
$f(x, mx^3) = \frac{\log(1+m^2 x^9)}{(1+m^2)x^6} \to 0$ per $x\to 0$.

[streghettaalice]

vero! avevo sbagliato a sostituire!

[streghettaalice]

Ma questo metodo lo posso applicare sempre?per il calcolo di qualsiasi limite?

[Rigel1]

Se, come nel primo esempio, hai limiti che vengono diversi al variare di $m$, puoi concludere che il limite di partenza non esiste.
Viceversa se, come nel secondo esempio, i limiti vengono tutti uguali, non puoi concludere niente; hai solo una certa "evidenza" che il limite, ragionevolmente, può esistere e dunque provi a fare delle stime per dimostrare che esiste davvero.

[streghettaalice]

cosa intendi per stime?credevo che l'esistenza fosse garantita dal fatto che tutti i limiti fossero uguali al variare di m..