Limiti di funzioni a due variabili

[mazzuca2]

Salve a tutti, sono uno studente al primo anno e mi appresto a fare l'esame di analisi (13 gennaio.. pregate x me!) e a tal proposito volevo chiedere un parere su un dubbio che mi era venuto. Allora l'argomento verte sui limiti di funzioni a 2 variabili. Consideriamo la funzione f(x,y)= x^2+y^2+x/x^2+y^2 se (x,y) diverso da(0,0) e f(x,y)=1 se (x,y)=(0,0). Volendo studiarne la continuità, si calcola il limite della funzioni per x,y che tendono a 0,0 Effetuando un cambiamento in coordinate polari (x= r cos(t) e y= r sen(t)e svolgendo un po di calcoli si arriva al seguente risultato: Lim cos (t)/r per r tendente a zero. Bene questo limite non esiste xche dipende da t. E fino a qui nessun problema. Prendiamo ora un altra funzione: f(x,y)= x^2*y^2/x^4+y^2 se (x,y) diverso da (0,0, e f(x,y)=0 se (x,y)=(0,0) effetuando maggiorazioni varie si scopre che lim f(x,y) per (x,y) tendente a 0 viene 0. Ora se effetuo un cambiamento di coordinate polari analogo al precedente viene fuori: lim r^4*cos^4(t)*sen^2(t)/r^4*cos^4(t)+r^2*sen^2(t) con r tendente a 0. Ora se raccolgo un r^2 sotto lo posso semplificare con r^4 sopra che moltiplica tutto. a questo punto lim r^2*cos^4(t)*sen^2(t)/r^2*cos^4(t)+sem^(t). Questo limite non dipende da t e quindi non esiste??? ma se questo limite non esiste, come fa lim f(x,y) per x tendente a (0,0) a esistere??? In altre parole il mio problema è questo: quando effetuo un cambiamento in coordinate polari e studio il limite associato a tale cambiamento, se esso non esiste (in quanto dipende da t) non esiste il limite della funzione? Il mio libro (e anche la mia prof mi ha spiegato cosi) avvalla quest'ipotesi, ma l'esempio che ho fatto sopra mi ha fatto confondere molto le idee...
GRAZIE MILLE A TUTTI!!!!!!!!!

[mazzuca2]

ragazzi x favore....... un aiutoooooooo!!!!!!!!!!!!!!

[Marco831]

dopo la sostituzione e la semplificazione dovresti ottenere (r^2*(cost)^2*(sint)^2)/(r^2*(cost)^2+(sint)^2).
Per r->0 il denominatore tende a (sint)^2, quindi abbiamo
limr->o (r^2*(cost)^2*(sint)^2)/(sint)^2)
semplifichi i sen^2 e ottieni
limr->0 (r^2*(cost)^2) che, qualunque sia t, tende a zero.

[mazzuca2]

Grazie mille!!!!!! ma senti scusa quindi in linea generale, quando si fa un cambiamento in coordinate polari, se il limite dipende da (t) esso non esiste giusto??? ma questa idea è sempre valida?? allora non sarebbe più comodo utilizzare quasi sempre le coordinate polari?