Limiti delle funzioni goniometriche!!!!
salve a tutti...sono disperato...
qualcuno mi potrebbe spiegare come funzionano i limiti che tendono a piu infinito per le funzioni goniometriche???
per esempio io ho lim 2+cos(n pigreco)
n->+°°
quanto viene?
non ci sono regole generali per questo tipo di limiti goniometrici?
grazie mille
qualcuno mi potrebbe spiegare come funzionano i limiti che tendono a piu infinito per le funzioni goniometriche???
per esempio io ho lim 2+cos(n pigreco)
n->+°°
quanto viene?
non ci sono regole generali per questo tipo di limiti goniometrici?
grazie mille
Risposte
questi tipi di limite non esistono perchè sia il sin e cos è compreso tra -1 e 1
Poiché $2 + cos(npi)=2 + (-1)^n$ così dovrebbe essere più semplice notare che non esiste limite
Le funzioni trigonometriche tipo seno e coseno non ammettono limite perchè come puoi facilmente intuire dal loro grafico oscillano tra -1 e 1!
Comunque per capire bene come funziona guarda sempre il grafico della funzione! Inoltre non dimenticare che per il calcolo dei limiti dove ci sono funzioni trigonometriche puoi sempre fare affidamento alla tabella dei limiti notevoli!
Comunque per capire bene come funziona guarda sempre il grafico della funzione! Inoltre non dimenticare che per il calcolo dei limiti dove ci sono funzioni trigonometriche puoi sempre fare affidamento alla tabella dei limiti notevoli!
"clockover":
Le funzioni trigonometriche tipo seno e coseno non ammettono limite perchè come puoi facilmente intuire dal loro grafico oscillano tra -1 e 1!
Comunque per capire bene come funziona guarda sempre il grafico della funzione! Inoltre non dimenticare che per il calcolo dei limiti dove ci sono funzioni trigonometriche puoi sempre fare affidamento alla tabella dei limiti notevoli!
Il tuo discorso può essere vero solo per certi casi infatti dal punto di vista logico non funziona così: è il calcolo del limite che ti aiuta a risalire al grafico della funzione e non il viceversa, inoltre anche sapendo che $sin(n)$ non ammette limite, non è utile per il calcolo di limiti in cui compaiono le funzioni goniometriche insieme ad altre; ad esempio:
$sin(n)/n->0$ mentre $nsin(n)$ non ha limite.
Quel che invece si può usare per garantire la non esistenza di un limite di successione è far vedere che esistono due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi
Più che altro parlavo di funzioni elementari tipo $x^2$, $logx$, ecc... Ovviamente se ho delle funzioni composte come dicevi tu non posso farci affidamento!
Tra l'altro mi è venuta curiosità nel dimostrare che $sin(n)$ non ammette limite in modo formale, ma non riesco a trovare due sottosuccessioni che convergano a limiti diversi. Qualcuno ha qualche idea?
"fabry1985mi":[/quote]
[quote="clockover"]
$sin(n)/n->0$
quel limite che hai scritto tu non un limite notevole?
io so che è un liminte notevole,ed è uguale a 1
"fabry1985mi":
Tra l'altro mi è venuta curiosità nel dimostrare che $sin(n)$ non ammette limite in modo formale, ma non riesco a trovare due sottosuccessioni che convergano a limiti diversi. Qualcuno ha qualche idea?
Non è facilissimo, ma si dimostra che $"lim sup " sin\ n=+1, "lim inf " sin\ n=-1$, e che $\forally\in[-1, 1]$ esiste una sottosuccessione $sin\ n_k$ convergente a $y$.
Però per i nostri scopi (se non ricordo male) è più semplice usare un'altra strada, cioè dimostrare che $sin\ n$ è per infiniti indici $>=sqrt(2)/2$ e per infiniti indici $<=-sqrt(2)/2$, il che esclude la regolarità. Ovvero, bisogna dimostrare che in ogni intervallo $[pi/4+2kpi, 3/4pi+2kpi]$ cade almeno un naturale $n$ (e poi la stessa cosa per gli intervalli $[5/4pi+2kpi, 7/4pi+2kpi]$). E' un esercizio che si trova su alcuni libri, ad esempio c'è sul Marcellini-Sbordone vol.1.
":::Fiu:::":
[quote="fabry1985mi"][quote="clockover"]
$sin(n)/n->0$
quel limite che hai scritto tu non un limite notevole?
io so che è un liminte notevole,ed è uguale a 1[/quote][/quote]
Credo tu abbia fatto un po di confusione con:
$lim_(x->0)sin(x)/x=1$ mentre $lim_(n->+oo)sin(n)/n=0$
"dissonance":
[quote="fabry1985mi"]Tra l'altro mi è venuta curiosità nel dimostrare che $sin(n)$ non ammette limite in modo formale, ma non riesco a trovare due sottosuccessioni che convergano a limiti diversi. Qualcuno ha qualche idea?
Non è facilissimo, ma si dimostra che $"lim sup " sin\ n=+1, "lim inf " sin\ n=-1$, e che $\forally\in[-1, 1]$ esiste una sottosuccessione $sin\ n_k$ convergente a $y$.
Però per i nostri scopi (se non ricordo male) è più semplice usare un'altra strada, cioè dimostrare che $sin\ n$ è per infiniti indici $>=sqrt(2)/2$ e per infiniti indici $<=-sqrt(2)/2$, il che esclude la regolarità. Ovvero, bisogna dimostrare che in ogni intervallo $[pi/4+2kpi, 3/4pi+2kpi]$ cade almeno un naturale $n$ (e poi la stessa cosa per gli intervalli $[5/4pi+2kpi, 7/4pi+2kpi]$). E' un esercizio che si trova su alcuni libri, ad esempio c'è sul Marcellini-Sbordone vol.1.[/quote]
Da quel che ho capito non è dunque affare semplice dimostrare che $sin(n)$ non ha limite o almeno io non saprei come fare a far vedere che in quegli intervalli c'è almeno un naturale. Ho provato a cercare un po' in rete tanto per curiosità e ho notato che su Wikipedia c'è una boiata incredibile:
http://it.wikipedia.org/wiki/Sottosuccessione#Esempi
Non vorrei dire ma l'applicazione $n_j=jpi$ non è una sottosuccessione perché se lo fosse dovrebbe succedere che $jpi in NN forall j in NN$ e questo è chiaramente assurdo.
Se riesci mi puoi postare i passaggi della dimostrazione che non ho quel testo che mi indicavi più sopra.
Grazie mille!
E si, su wikipedia c'è un errore. Quello che c'è scritto là va bene per dimostrare che non esiste $lim_{x\toinfty}cos\ x$ semmai.
Comunque, per quanto riguarda il discorso di prima, prendiamo ad esempio $[pi/4+2kpi, 3/4pi+2kpi]$, con $k\inZZ$. Questo intervallo è più ampio di 1: $3/4pi-pi/4=1/2pi$ e come sappiamo $pi>2$. Ora in ogni intervallo $[a, b]$ con $b-a>1$ cade almeno un naturale. Intuitivamente questo fatto è ovvio, per una dimostrazione rigorosa io direi:
(chiamo $$ la parte intera di $b$, ovvero il più piccolo intero $<=b$)
è vero per tutti i numeri reali che $0<=b-<1$, da cui $a<=<=b$ ed ecco il nostro numero intero nell'intervallo $[a, b]$.
In conclusione in ognuno degli $[pi/4+2kpi, 3/4pi+2kpi]$ cade almeno un numero naturale $n_k$. Per via della periodicità della funzione seno, possiamo concludere che $sin\ n_k>=sqrt(2)/2$ per ogni $k$ intero positivo. Rifacendo lo stesso discorso sugli intervalli $[5/4pi+2hpi, 7/4pi+2hpi]$ costruiamo un'altra sottosuccessione $sin\ n_h$, stavolta per ogni $h$ sarà $sin\ n_h<=-sqrt(2)/2$. Quindi, se $sin\ n$ fosse convergente, l'ipotetico limite $l$ dovrebbe essere contemporaneamente $l>=sqrt(2)/2$ e $l<=-sqrt(2)/2$, che è assurdo.
Comunque, per quanto riguarda il discorso di prima, prendiamo ad esempio $[pi/4+2kpi, 3/4pi+2kpi]$, con $k\inZZ$. Questo intervallo è più ampio di 1: $3/4pi-pi/4=1/2pi$ e come sappiamo $pi>2$. Ora in ogni intervallo $[a, b]$ con $b-a>1$ cade almeno un naturale. Intuitivamente questo fatto è ovvio, per una dimostrazione rigorosa io direi:
(chiamo $$ la parte intera di $b$, ovvero il più piccolo intero $<=b$)
è vero per tutti i numeri reali che $0<=b-<1$, da cui $a<=<=b$ ed ecco il nostro numero intero nell'intervallo $[a, b]$.
In conclusione in ognuno degli $[pi/4+2kpi, 3/4pi+2kpi]$ cade almeno un numero naturale $n_k$. Per via della periodicità della funzione seno, possiamo concludere che $sin\ n_k>=sqrt(2)/2$ per ogni $k$ intero positivo. Rifacendo lo stesso discorso sugli intervalli $[5/4pi+2hpi, 7/4pi+2hpi]$ costruiamo un'altra sottosuccessione $sin\ n_h$, stavolta per ogni $h$ sarà $sin\ n_h<=-sqrt(2)/2$. Quindi, se $sin\ n$ fosse convergente, l'ipotetico limite $l$ dovrebbe essere contemporaneamente $l>=sqrt(2)/2$ e $l<=-sqrt(2)/2$, che è assurdo.
Perfetto! Ora sono finalmente convinto che $sin(n)$ non ha limite!
Grazie mille!
Sarebbe carino anche dimostrare che la sua classe limite è l'intero intervallo [0,1]....
Grazie mille!
Sarebbe carino anche dimostrare che la sua classe limite è l'intero intervallo [0,1]....
Per dimostrare questo fatto si può procedere così (so che non è l'unico modo possibile, ma non esageriamo):
per prima cosa si dimostra che, dato un irrazionale $gamma$, l'insieme ${gammam+n\ |\ m,n\inZZ}$ è denso in $RR$. (Ne parlammo di recente sul forum, Martino diede una dimostrazione molto ben fatta, appena trovo il link lo posto).
Ora, dato che $pi$ è irrazionale (questo lo diamo per buono però!
) anche $2pi$ lo è e perciò l'insieme ${2pim+n}$ è denso in $RR$. Inoltre, $\foralln\inNN, m\inZZ$ $sin(2pim+n)=sin\ n$. Di qui il più è fatto: possiamo far accumulare ${2pim+n}$ intorno a qualunque punto vogliamo. C'è un piccolo inconveniente da risolvere adesso: non è detto che gli $n$ siano tutti positivi.
Risolto questo, abbiamo finito: quando l'insieme ${2pim_h+n_k}$ si accumula intorno a $x$, la successione $sin(n_k)=sin(2pim_h+n_k)$ si accumulerà intorno a $sin\ x$. Bisogna mettere a punto i vari dettagli, se ho tempo poi provo a farlo io, comunque spero sia chiara l'idea (e soprattutto spero che sia corretta!).
P.S.: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... e&p=256504 .
per prima cosa si dimostra che, dato un irrazionale $gamma$, l'insieme ${gammam+n\ |\ m,n\inZZ}$ è denso in $RR$. (Ne parlammo di recente sul forum, Martino diede una dimostrazione molto ben fatta, appena trovo il link lo posto).
Ora, dato che $pi$ è irrazionale (questo lo diamo per buono però!
) anche $2pi$ lo è e perciò l'insieme ${2pim+n}$ è denso in $RR$. Inoltre, $\foralln\inNN, m\inZZ$ $sin(2pim+n)=sin\ n$. Di qui il più è fatto: possiamo far accumulare ${2pim+n}$ intorno a qualunque punto vogliamo. C'è un piccolo inconveniente da risolvere adesso: non è detto che gli $n$ siano tutti positivi. Risolto questo, abbiamo finito: quando l'insieme ${2pim_h+n_k}$ si accumula intorno a $x$, la successione $sin(n_k)=sin(2pim_h+n_k)$ si accumulerà intorno a $sin\ x$. Bisogna mettere a punto i vari dettagli, se ho tempo poi provo a farlo io, comunque spero sia chiara l'idea (e soprattutto spero che sia corretta!).
P.S.: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... e&p=256504 .
La prospettiva di come fare a dimostrare questo fatto mi è molto chiara! Certo che spieghi proprio bene!
Complimenti...
Complimenti...
Vorrei entrare nel merito della discussione solo a titolo informativo. Volevo infatti sapere se la seguente dimostrazione che sen(x) non ammette limite è altrettanto valida di quella proposta da Dissonance.
Se io considero le sottosuccessioni a_n=π/2+2nπ e b_n=3/2 π+2nπ e calcolo il limite di sin(an) e sin(bn) per n che tende a infinito trovo 1 e -1. Siccome so che an
Grazie in anticipo
Se io considero le sottosuccessioni a_n=π/2+2nπ e b_n=3/2 π+2nπ e calcolo il limite di sin(an) e sin(bn) per n che tende a infinito trovo 1 e -1. Siccome so che an
Grazie in anticipo
@ Drogatog: Intanto benvenuto nel forum. Ti consiglio di visitare questo link per imparare a scrivere correttamente le formule. Per quanto riguarda il tuo intervento, la dimostrazione che hai proposto purtroppo non va bene perché le successioni $\sin\ a_n, \sin\ b_n $ che hai esibito non sono estratte da $ sin\ n $. Infatti né $a_n$ né $b_n$ sono successioni di numeri naturali.
ok giusto mi sembrava troppo semplice =D. Grazie mille, in effetti era il problema per cui mi ero bloccato all'inizio e poi ci sono ricascato.
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