Limiti, continuità e derivabilita

[Lahm]

Potreste darmi una mano con questo esercizio?

Data la funzione f : R → R definita da
_________{ 3|x| − 1 se x ≤ 1
f (x) = {
_________{ ax^2 + bx + 1 se x > 1
(a) determinare la condizione sui parametri a, b ∈ R affinchè ́la funzione sia continua su tutto R;
(b) per quali valori dei parametri a, b la funzione è derivabile in (0, +∞)?
(c) Dire se esiste una scelta dei parametri a, b tali che la funzione sia derivabile su tutto R.

Grazie Anticipatamente !

[Luc@s]

$ f (x) = \{(3|x| -1, x ≤ 1),(ax^2 + bx + 1, x > 1):}$

dunque... due domandine veloci.
1) Quando una funzione definita "a pezzi" è continua?
2) Quando la stessa funzione è differenziabile su un insieme limitato e quando su $\mathbb{R}$
Una volta provato a rispondere trovarai come risolvere gli esercizi

P.S: scrivi in mathml

[Lahm]

Scusa ma ho premuto involontariamente invio .. devo ancora concludere le altre due domande

[Luc@s]

direi che sei sulla buona strada
Da li ti trovi $a,b \in RR$
Per la derivata basta che pensi a come è soprattutto quando è definita

[Lahm]

Dunque..
1)
Per verificare la continuità di una funzione, se questa è definita a pezzi, bisogna analizzare il punto di 'interruzione'
In questo caso dovrei eguagliare il limite destro della prima funzione con il limite sinistro della seconda funzione
(il limite tende a 1).
2)
Per verifica la differenziabilità in (0,+∞) devo tenere sempre conto della continuità. Proverei ad eguagliare le derivate
di entrambe le funzioni per cercare i valori che devono assumere i parametri al fine di mantenere la continuità.
2bis)
Poichè la funzione non è derivabile in 0 per la funzione 3|x|-1 e poichè i parametri non influiscono sulla determinazione
della funzione, concluderei dicendo che non esistono dei parametri che permettano la differenziabilità della funzione
in tutto R.

Ho dei forti dubbi su quello che ho appena scritto(soprattutto sull'ultima parte) .. potrebbe andare bene?
Grazie per la disponibilità !

[Luc@s]

"Lahm":
1)
Per verificare la continuità di una funzione, se questa è definita a pezzi, bisogna analizzare il punto di 'interruzione'
In questo caso dovrei eguagliare il limite destro della prima funzione con il limite sinistro della seconda funzione
(il limite tende a 1).

Qui è ok come idea.
Vedi i limiti da entrambe le parti e li eguagli. Da li ti viene fuori come mettere a e b.

"Lahm":
2)
Per verifica la differenziabilità in (0,+∞) devo tenere sempre conto della continuità. Proverei ad eguagliare le derivate
di entrambe le funzioni per cercare i valori che devono assumere i parametri al fine di mantenere la continuità.

Io eguaglierei invece i rapporti incrementali da destra e sinistra(ricordati che la derivata esiste se $f'^+ = f'^-$

"Lahm":
2bis)
Poichè la funzione non è derivabile in 0 per la funzione 3|x|-1 e poichè i parametri non influiscono sulla determinazione
della funzione, concluderei dicendo che non esistono dei parametri che permettano la differenziabilità della funzione
in tutto R.

Qui direi che siamo ok e null'altro serve

[Lahm]

Grazie mille per la disponibilità .. se lo fossero anche i miei professori ..
si limitano ad inserire sui loro siti soltanto le prove degli anni precedenti ... senza alcuna correzione.
Come riesco a verificare che le mie soluzioni sono giuste .. Bah

Grazie e a presto

[Luc@s]

nulla.
A me mettono la risposta giusta...ma senza perchè quindi ti capisco in parte.