Limiti, continuità di funzioni ed esercizi relativi
Ciao a tutti, ho preso dal testo Calcolo Differenziale I di R. Adams i seguenti esercizi di cui metto il testo la possibile soluzione da me trovata:
Data la funzione sottostante risolvere i seguenti limiti:
Limiti richiesti con risultato:
$ lim_(x -> 0^+)f(x)=1 $
$ lim_(x -> 1)f(x)=oo $
$ lim_(x -> 2^+)f(x)=1 $
$ lim_(x -> 2^-)f(x)=2 $
$ lim_(x -> 3^+)f(x)=+oo $
$ lim_(x -> 3^-)f(x)=-oo $
$ lim_(x -> 4^+)f(x)=2 $
$ lim_(x -> 4^-)f(x)=0 $
$ lim_(x -> 5^-)f(x)=-1 $
$ lim_(x -> 5^+)f(x)=0 $
$ lim_(x -> oo)f(x)=1 $
Quali sono le equazioni degli asintoti presenti nel grafico per la funzione f(x)?
Equazioni asintoti verticali:
$ x=1 $ e $ x=3 $
Equazioni asintoti orizzontali:
$ y=1 $ per $ x>=5 $
Problema su limiti e funzioni:
Sapendo che il costo per parcheggiare l'auto in un parcheggio un ora o una frazione di ora è di 1,50 euro descriver
la relativa funzione C(t).
Ipotizzando che appena superata una determinata ora il costo per il parcheggio sia di 1,50 euro+ 1,50 euro*numero di ore e che già dalla rpima frazione della prima ora io abbia un costo di 1,50 euro, quindi che io tenga per un ora o meno la macchina nel parcheggio io devo sempre e comunque pagare 1,50 euro la funzione descritta pare essere la funzione ceiling opportunamente modificata:
[tex]f(x)=\begin{cases}
& 0 \text{ se } x\leq 0 \\
& \lceil\mathit{x}\rceil+\frac{1}{2} \text{ altrimenti }
\end{cases}[/tex]
Vi è poi un ultimo esercizio di cui non ho idea di come procedere nello svolgimento:
Dati [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {0}^{+} } f(x)=A[/tex] e [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {0}^{-} } f(x)=B[/tex] determinare i seguenti limiti:
[tex]\lim_{x \rightarrow {0}^{+} }f({x}^{3}-x)\
\lim_{x \rightarrow {0}^{-} }f({x}^{3}-x)\
\lim_{x \rightarrow {0}^{-} }f({x}^{2}-{x}^{4})\
\lim_{x \rightarrow {0}^{-} }f({x}^{2}-{x}^{4})[/tex]
Naturalmente non vi chiedo di risolvermi quest'ultimo esercizio ma magari di darmi una dritta su come procedere alla risoluzione.
Per gli altri due esercizi basta una controllata in quanto non vi è niente da svolgere a parte i limiti richiesti e da me già risolti, è più che altro una conferma per sapere se sto procedendo bene nello studio di tale argomento.
Grazie in anticipo e buona serata!
Data la funzione sottostante risolvere i seguenti limiti:
Limiti richiesti con risultato:
$ lim_(x -> 0^+)f(x)=1 $
$ lim_(x -> 1)f(x)=oo $
$ lim_(x -> 2^+)f(x)=1 $
$ lim_(x -> 2^-)f(x)=2 $
$ lim_(x -> 3^+)f(x)=+oo $
$ lim_(x -> 3^-)f(x)=-oo $
$ lim_(x -> 4^+)f(x)=2 $
$ lim_(x -> 4^-)f(x)=0 $
$ lim_(x -> 5^-)f(x)=-1 $
$ lim_(x -> 5^+)f(x)=0 $
$ lim_(x -> oo)f(x)=1 $
Quali sono le equazioni degli asintoti presenti nel grafico per la funzione f(x)?
Equazioni asintoti verticali:
$ x=1 $ e $ x=3 $
Equazioni asintoti orizzontali:
$ y=1 $ per $ x>=5 $
Problema su limiti e funzioni:
Sapendo che il costo per parcheggiare l'auto in un parcheggio un ora o una frazione di ora è di 1,50 euro descriver
la relativa funzione C(t).
Ipotizzando che appena superata una determinata ora il costo per il parcheggio sia di 1,50 euro+ 1,50 euro*numero di ore e che già dalla rpima frazione della prima ora io abbia un costo di 1,50 euro, quindi che io tenga per un ora o meno la macchina nel parcheggio io devo sempre e comunque pagare 1,50 euro la funzione descritta pare essere la funzione ceiling opportunamente modificata:
[tex]f(x)=\begin{cases}
& 0 \text{ se } x\leq 0 \\
& \lceil\mathit{x}\rceil+\frac{1}{2} \text{ altrimenti }
\end{cases}[/tex]
Vi è poi un ultimo esercizio di cui non ho idea di come procedere nello svolgimento:
Dati [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {0}^{+} } f(x)=A[/tex] e [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {0}^{-} } f(x)=B[/tex] determinare i seguenti limiti:
[tex]\lim_{x \rightarrow {0}^{+} }f({x}^{3}-x)\
\lim_{x \rightarrow {0}^{-} }f({x}^{3}-x)\
\lim_{x \rightarrow {0}^{-} }f({x}^{2}-{x}^{4})\
\lim_{x \rightarrow {0}^{-} }f({x}^{2}-{x}^{4})[/tex]
Naturalmente non vi chiedo di risolvermi quest'ultimo esercizio ma magari di darmi una dritta su come procedere alla risoluzione.
Per gli altri due esercizi basta una controllata in quanto non vi è niente da svolgere a parte i limiti richiesti e da me già risolti, è più che altro una conferma per sapere se sto procedendo bene nello studio di tale argomento.
Grazie in anticipo e buona serata!
Risposte
Apporterei qualche modifica:
$ lim_(x -> 1)f(x)=+oo $
$ lim_(x -> 2^-)f(x)=2^+$
$ lim_(x -> 4^+)f(x)=2^- $
$ lim_(x -> 5^-)f(x)=-1^+ $
$ lim_(x -> +oo)f(x)=1^- $
Ora io dopo 3 ore dovrei pagare 4,5 euro e la tua funzione mi dice di pagare 3,5 euro.
Io metterei il fattore correttivo $x$ alla frazione $1/2$ e forse funziona:
[tex]f(x)=\begin{cases}
& 0 \text{ se } x\leq 0 \\
& \lceil\mathit{x}\rceil+\frac{1}{2}x \text{ altrimenti }
\end{cases}[/tex]
Fai un cambiamento di variabile con una sostituzione, poni ciascun termine polinomiale in $x$ uguale a $t$. Studia il comportamento del polinomio in $x$ in un intorno di $0$ [devi in sostanza fare lo studio del segno del polinomio in un intorno di $0$, a meno che non vuoi farlo a mente e anche facile da vedere] e trasformi il limite che puoi facilmente calcolare avendo le indicazioni assegnate.
$ lim_(x -> 1)f(x)=+oo $
$ lim_(x -> 2^-)f(x)=2^+$
$ lim_(x -> 4^+)f(x)=2^- $
$ lim_(x -> 5^-)f(x)=-1^+ $
$ lim_(x -> +oo)f(x)=1^- $
Sapendo che il costo per parcheggiare l'auto in un parcheggio un ora o una frazione di ora è di 1,50 euro descrivere
la relativa funzione C(t).
Ipotizzando che appena superata una determinata ora il costo per il parcheggio sia di 1,50 euro+ 1,50 euro*numero di ore e che già dalla rpima frazione della prima ora io abbia un costo di 1,50 euro, quindi che io tenga per un ora o meno la macchina nel parcheggio io devo sempre e comunque pagare 1,50 euro la funzione descritta pare essere la funzione ceiling opportunamente modificata:
[tex]f(x)=\begin{cases}
& 0 \text{ se } x\leq 0 \\
& \lceil\mathit{x}\rceil+\frac{1}{2} \text{ altrimenti}
\end{cases}[/tex]
Ora io dopo 3 ore dovrei pagare 4,5 euro e la tua funzione mi dice di pagare 3,5 euro.
Io metterei il fattore correttivo $x$ alla frazione $1/2$ e forse funziona:
[tex]f(x)=\begin{cases}
& 0 \text{ se } x\leq 0 \\
& \lceil\mathit{x}\rceil+\frac{1}{2}x \text{ altrimenti }
\end{cases}[/tex]
Vi è poi un ultimo esercizio di cui non ho idea di come procedere nello svolgimento:
Dati [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {0}^{+} } f(x)=A[/tex] e [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {0}^{-} } f(x)=B[/tex] determinare i seguenti limiti:
[tex]\lim_{x \rightarrow {0}^{+} }f({x}^{3}-x)\
\lim_{x \rightarrow {0}^{-} }f({x}^{3}-x)\
\lim_{x \rightarrow {0}^{-} }f({x}^{2}-{x}^{4})\
\lim_{x \rightarrow {0}^{-} }f({x}^{2}-{x}^{4})[/tex]
Fai un cambiamento di variabile con una sostituzione, poni ciascun termine polinomiale in $x$ uguale a $t$. Studia il comportamento del polinomio in $x$ in un intorno di $0$ [devi in sostanza fare lo studio del segno del polinomio in un intorno di $0$, a meno che non vuoi farlo a mente e anche facile da vedere] e trasformi il limite che puoi facilmente calcolare avendo le indicazioni assegnate.
Ti ringrazio per le soluzioni da te corrette.
Guardandola ora la funzione C(t) credo sia da modificare in:
[tex]C(t)=\lceil x \rceil+\frac{1}{2} \lceil x \rceil[/tex]
altrimenti ho paura che per valori non interi il costo si discosti dal risultato atteso.
Per quanto riguarda l'ultimo esercizio non riesco a capire una volta che vado a sostituire [tex]{x}^{3}-x=t[/tex] devo studiare il segno di [tex]{x}^{3}-x>0[/tex] che essendo positivo in $ -11[/tex] mi porta a dire che [tex]\lim_{x \rightarrow {0}^{+} } f(x)=B[/tex]?
Sarebbe conforme alla soluzione del libro ma non vorrei esserci arrivato in maniera errata con il procedimento da me eseguito...
Guardandola ora la funzione C(t) credo sia da modificare in:
[tex]C(t)=\lceil x \rceil+\frac{1}{2} \lceil x \rceil[/tex]
altrimenti ho paura che per valori non interi il costo si discosti dal risultato atteso.
Per quanto riguarda l'ultimo esercizio non riesco a capire una volta che vado a sostituire [tex]{x}^{3}-x=t[/tex] devo studiare il segno di [tex]{x}^{3}-x>0[/tex] che essendo positivo in $ -1
Sarebbe conforme alla soluzione del libro ma non vorrei esserci arrivato in maniera errata con il procedimento da me eseguito...
Per studiare il segno di quella quantità non è importante quale simbolo di disuguaglianza mettere. Vedrai che hai la stessa conclusione se poni $x^3-x<=0$, questo per precisazione. Si a sinista di $0$ è positiva e a destra di $0$ negativa.
$\lim_{x \to \0^+} f(x^3-x)$=$\lim_{t \to \0^-} f(t)=B$
$\lim_{x \to \0^+} f(x^3-x)$=$\lim_{t \to \0^-} f(t)=B$
Grazie della risposta!
Continuo la discussione con alcuni limiti fatti di recente su cui ho qualche dubbio pur avendo essi il risultato corretto:
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {1}^{+} }{({x}^{2}-1)}^{\frac{1}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow{1}^{+}}{e}^{\frac{1}{x-1}log({x}^{2}-1)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow{1}^{+}}{e}^{\frac{log(x-1)}{x-1}+\frac{log(x+1)}{x+1}}={e}^{-\infty}=0[/tex]
[tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{{e}^{6{x}^{2}}-1}{log(x+{x}^{2})}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{e}^{6{x}^{2}}-1}{6{x}^{2}}\frac{6{x}^{2}}{log(x+{x}^{2})}=0[/tex]
Sono dubbioso soprattutto sul secondo passaggio della seconda in quanto [tex]log({0}^{+})=-\infty \neq log(0)[/tex] indi per cui potrebbe non essere corretto non essendo la funzione logaritmica definita per valori minori o uguali a 0.
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {-1}^{-}}\frac{log({x}^{2}-1)}{{x}^{2}-1}=-\infty[/tex]
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {2}^{+}}\frac{log({x}^{2}-4)}{4-{x}^{2}}=+\infty[/tex]
Grazie in anticipo!
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {1}^{+} }{({x}^{2}-1)}^{\frac{1}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow{1}^{+}}{e}^{\frac{1}{x-1}log({x}^{2}-1)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow{1}^{+}}{e}^{\frac{log(x-1)}{x-1}+\frac{log(x+1)}{x+1}}={e}^{-\infty}=0[/tex]
[tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{{e}^{6{x}^{2}}-1}{log(x+{x}^{2})}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{e}^{6{x}^{2}}-1}{6{x}^{2}}\frac{6{x}^{2}}{log(x+{x}^{2})}=0[/tex]
Sono dubbioso soprattutto sul secondo passaggio della seconda in quanto [tex]log({0}^{+})=-\infty \neq log(0)[/tex] indi per cui potrebbe non essere corretto non essendo la funzione logaritmica definita per valori minori o uguali a 0.
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {-1}^{-}}\frac{log({x}^{2}-1)}{{x}^{2}-1}=-\infty[/tex]
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow {2}^{+}}\frac{log({x}^{2}-4)}{4-{x}^{2}}=+\infty[/tex]
Grazie in anticipo!
Ti faccio un piccolo appunto: scrivere $log(0^+)=-oo!= log 0$ è veramente veramente brutto in matematica. Cerca di capire perchè.
Per risolvere il secondo limite potresti sfruttare il fatto che $log(x+x^2)=log(x(1+x))=logx+log(1+x)$.
Per risolvere il secondo limite potresti sfruttare il fatto che $log(x+x^2)=log(x(1+x))=logx+log(1+x)$.
Dopo essere andato in panne in quanto da qualsiasi parte rigiravo la funzione mi capitava sempre [tex]log(0)[/tex] ho dato un'occhiata su Wolfram ed ho visto che viene risolta in un modo semplicemente disarmante: viene eseguito il limite dell'esponente della e ed in quanto tendente a 0 e quindi e ad 1 il limite risulta avere come risultato 0.
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