Limiti con Taylor e stime asintotiche
Salve sono nuovo del forum o volevo un chiarimento su questo limite:
$lim_(x->0)(1+xsenx-e^(x^2))/(xsen(x^3))$
Usando le stime asintotiche mi esce $(1+x^2-e^(x^2))/x^4$
E risolvendo con Taylor il risultato diviene -1/2, ma il libro non lo risolve così per al numeratore non applica la stima asintotica a xsenx e non capisco come mai non l’abbia applicata. Il risultato finale è -2/3 e vorrei sapere se c’è una regola per cui non si può applicare la stima asintotica in questo caso, grazie mille in anticipo
$lim_(x->0)(1+xsenx-e^(x^2))/(xsen(x^3))$
Usando le stime asintotiche mi esce $(1+x^2-e^(x^2))/x^4$
E risolvendo con Taylor il risultato diviene -1/2, ma il libro non lo risolve così per al numeratore non applica la stima asintotica a xsenx e non capisco come mai non l’abbia applicata. Il risultato finale è -2/3 e vorrei sapere se c’è una regola per cui non si può applicare la stima asintotica in questo caso, grazie mille in anticipo
Risposte
Avendo tu per $x \to 0$ che
$$\sin(x) = x -x^3/6 +o(x^4)$$
$$e^{x^2} = 1+x^2 +x^4/2+ o(x^6)$$
Hai che
$\lim_{x \to 0} \frac{1+x\sin(x)-e^{x^2}}{x\sin(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x^2-x^4/6 -1-x^2-x^4/2}{x^4} = \lim_{x \to 0} -2/3 = -2/3$
$$\sin(x) = x -x^3/6 +o(x^4)$$
$$e^{x^2} = 1+x^2 +x^4/2+ o(x^6)$$
Hai che
$\lim_{x \to 0} \frac{1+x\sin(x)-e^{x^2}}{x\sin(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x^2-x^4/6 -1-x^2-x^4/2}{x^4} = \lim_{x \to 0} -2/3 = -2/3$
Il motivo è sempre lo stesso, ed in varie occasioni nella risoluzione di esercizi sui limiti nel forum, è stato detto che non è possibile stabilire una regola generale, ma valutare caso per caso, i limiti notevoli altro non sono che lo sviluppo in serie di Taylor arrestati al primo termine in $x $, nel caso del limite che hai postato, per quanto riguarda il numeratore, i termini di primo grado in $x $ si elidono , quindi risulta necessario uno sviluppo in serie più preciso, cioè che coinvolga termini di grado successivo, come correttamente illustrato da @Breemen000, nel tuo caso , commetti l'errore nel non sviluppare a numeratore il termine $sinx $ oltre il primo termine in $x $, così che, vieni a trascurare il termine $-x^3/6$, che moltiplicato per il $x $ da $-x^4/6$, che non comparendo nella somma algebrica a numeratore ti porta al calcolo del limite errato $lim_(x->0)(1+x^2-e^(x^2))/x^4=-1/2$ .
Ok grazie mille, il procedimento già lo sapevo in quanto illustrato usl libro, non capivo solo perché non avesse usato le stime asintotiche. Quindi al numeratore non posso usarle perché non sono allo stesso grado di infinitesimo, in $e^(x^2)$ è svilupppato fino a $x^4$ mentre $xsenx$ è sviluppato fino a $x^2$ giusto?
Tu in effetti , erroneamente, hai utilizzato a numeratore , l'asintotico , cioè lo sviluppo in serie di taylor arrestato al primo termine in $x $, per quanto riguarda il termine $sinx $, ottenendo $lim_(x->0)(1+x^2-e^(x^2))/x^4$ , e successivamente hai usato sempre lo sviluppo in serie per termini successivi ad $x^2$, questo però ti ha portato ad ignorare, nello sviluppo, come ti ho già detto il termine $-x^4/6$, che non compare nella somma algebrica a numeratore , questo procedimento ti ha portato ad un risultato del limite non corretto!
Se applichi al limite iniziale, solo gli asintotici, cioè le serie di taylor arrestati al primo termine, non riusciresti ad eliminare la forma indeterminata $0/0$, e quindi non avresti nessuna utilità ai fini del calcolo del limite , per eliminarla in modo corretto occorre uno sviluppo più accurato , come illustrato da @Bremen000.
Se applichi al limite iniziale, solo gli asintotici, cioè le serie di taylor arrestati al primo termine, non riusciresti ad eliminare la forma indeterminata $0/0$, e quindi non avresti nessuna utilità ai fini del calcolo del limite , per eliminarla in modo corretto occorre uno sviluppo più accurato , come illustrato da @Bremen000.
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