Limiti con Taylor

[gotenks1]

E' da ieri che sto sbattendo la testa contro Taylor ed "o piccoli".. Per favore datemi una mano..



Mi potreste spiegare perchè $(1 - (x+x^3)^2/2 + o(x^3)) = (1 - x^2/2 - x^3 + o(x^3))?$

Grazie!
Gotenks

[gotenks1]

Help please!

[regim]

$(1 - (x+x^3)^2/2 + o(x^3)) = (1 - x^2/2 - x^3 + o(x^3))$

L'espressione a primo membro contiene questo quadrato $(x+x^3)^2/2 = (x^2 + x^6 + 2*x^4)/2$
Esaminiamo i termini risultanti uno ad uno:

$x^2/2$ questo è un infinitesimo di ordine $2$

$x^6/2$.........................//..................$6$ quindi è di ordine superiore a $3$

$x^4$......................//...................$4$ quindi anche questo è di ordine superiore a $3$

La somma di questi elementi $x^6/2 + x^4 + o(x^3)$ è un infinitesimo per $x->0$ infatti, se fai il $lim_(x->0) x^6/2 + x^4 + o(x^3) = 0$

Chiediti ora: qual è l'ordine di infinitesimo? tutte e tre le funzioni sono infinitesimi di ordine superiore a $3$ e quindi la loro somma lo sarà pure.

Perciò, ai fini di un limite per $x->0$, poichè $lim_(x->0) [x^6/2 + x^4 + o(x^3)]/x^3 = 0$ questo oggetto matematico $x^6/2 + x^4 + o(x^3)$ si comporta in modo identico a questo $o(x^3)$. E' cioè ininfluente lasciare i termini con esponenti maggiori di $3$ con le loro espressioni(potenze di $x$) quando non puoi dire assolutamente nulla se il confronto dell'oggetto di prima avvenisse con un infinitesimo di ordine superiore a $3$ in un limite per $x->0$. Come nell'esempio che segue:

$lim_(x->0) [x^6/2 + x^4 + o(x^3)]/x^4 = ???$

edit: ho notato un errore di stampa, per questo che non ti veniva $(1 - (x+x^3)^2/2 + o(x^3))$ qui è errato proprio il termine $(x+x^3)^2/2$ dovrebbe invece essere $(x+x^2)^2/2$ Ciao