Limiti con Taylor
Calcolare,se esiste, al variare di n appartenente a N
il limite con x che tende a zero di:
6
√(3 - x ) - √3 tutto fratto x^n
Grazie a chi mi aiuta.
il limite con x che tende a zero di:
6
√(3 - x ) - √3 tutto fratto x^n
Grazie a chi mi aiuta.
Risposte
$lim_(x->0) (root6(3-x)-sqrt3)/x^n=lim_(x->0) ((3-x)^(1/6)-sqrt3)/x^n=
$=lim_(x->0) ( (3(1-x/3))^(1/6)-sqrt3)/x^n = lim_(x->0) ( root6(3)* (1-x/3)^(1/6)-sqrt3)/x^n
a questo punto ricordiamo che $(1+x)^a=1+ax+o(x)$ per ogni $a in RR$, per $x->0$.
Applicando questo sviluppo si ha $lim_(x->0) ( root6(3) * (1-1/18 x + o(x)) - sqrt3)/x^n = lim_(x->0) ( root6(3)- sqrt3-root6(3)/18 x + o(x))/x^n
A questo punto, se $n=0$ allora ovviamente $lim_(x->0) f(x) = root6(3) - sqrt3$, dove ho chiamato $f(x)$
la funzione di cui stiamo calcolando il limite, per comodità.
Se invece $n!=0$ ($n$ è naturale, quindi diciamo se $n>0$ o anche $n>=1$) il limite non esiste,
infatti distinguiamo due casi:
1) per $x->0^+$, dato che $x^n->0^+$, $lim_(x->0^+) f(x) = -oo$, infatti
il numeratore tende a $root6(3)-sqrt3<0$
2) per $x->0^-$ occorre distinguere altri due sottocasi: il caso in cui $n$ è pari
e il caso in cui è dispari. Se $n$ è pari allora si ha lo stesso risultato di prima, infatti
$x^n->0^+$ e quindi il limite è $-oo$. Se $n$ è dispari allora $x^n->0^-$ per $x->0^-$,
perciò il risultato del limite diventa in questo caso $+oo$.
Salvo errori.
$=lim_(x->0) ( (3(1-x/3))^(1/6)-sqrt3)/x^n = lim_(x->0) ( root6(3)* (1-x/3)^(1/6)-sqrt3)/x^n
a questo punto ricordiamo che $(1+x)^a=1+ax+o(x)$ per ogni $a in RR$, per $x->0$.
Applicando questo sviluppo si ha $lim_(x->0) ( root6(3) * (1-1/18 x + o(x)) - sqrt3)/x^n = lim_(x->0) ( root6(3)- sqrt3-root6(3)/18 x + o(x))/x^n
A questo punto, se $n=0$ allora ovviamente $lim_(x->0) f(x) = root6(3) - sqrt3$, dove ho chiamato $f(x)$
la funzione di cui stiamo calcolando il limite, per comodità.
Se invece $n!=0$ ($n$ è naturale, quindi diciamo se $n>0$ o anche $n>=1$) il limite non esiste,
infatti distinguiamo due casi:
1) per $x->0^+$, dato che $x^n->0^+$, $lim_(x->0^+) f(x) = -oo$, infatti
il numeratore tende a $root6(3)-sqrt3<0$
2) per $x->0^-$ occorre distinguere altri due sottocasi: il caso in cui $n$ è pari
e il caso in cui è dispari. Se $n$ è pari allora si ha lo stesso risultato di prima, infatti
$x^n->0^+$ e quindi il limite è $-oo$. Se $n$ è dispari allora $x^n->0^-$ per $x->0^-$,
perciò il risultato del limite diventa in questo caso $+oo$.
Salvo errori.
ti ringrazio davvero di cuore.grazie grazie grazie.
Spero che tu abbia capito i passaggi...
si, l'hai scritto come esponenziale e poi hai fattorizzato. da li in poi mi riesce. la difficoltà che ho io è fattorizzare a quel modo ovvero mettere nella forma giusta il limite.
Si può dire volendo anche così:
1) se $n=0$, il limite è $root6(3)-sqrt3
2) se $n=2k$, con $k in NN\\{0}$ (cioè $n$ pari) il limite è $-oo$
3) se $n=2k+1$, con $k in NN$ (cioè $n$ dispari) il limite non esiste.
1) se $n=0$, il limite è $root6(3)-sqrt3
2) se $n=2k$, con $k in NN\\{0}$ (cioè $n$ pari) il limite è $-oo$
3) se $n=2k+1$, con $k in NN$ (cioè $n$ dispari) il limite non esiste.
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