Limiti con Taylor
Vi posto alcuni limiti dovevo verificare la laro esistenza con Taylor. Io li ho svolti se per favore potete correggermeli mi fate un piacere. Grazie, David
1)
Sfruttando le proprietà dei logaritmi lo posso scrivere come:
Adesso usando Taylor e prendendo il primo termine della serie del logaritmo e del seno mi rimane:
Il limite quindi esiste e vale
2)
Anche questo sempre sfruttando le proprietà dei logaritmi lo scrivo come:
Adesso uso Taylor e come ho fatto prima prendo il primo termine della serie del sel logaritmo e del seno e rimane:
Quindi mi rimane
Dato che il grafico di 1/x è
Il limite con x che tende a 0 NON ESISTE.
3)
Utilizzando taylor prendendo sempre il primo termine della serie rimane:
Ora che faccio? Per favore spiegatemelo passo passo.
E con questo è tutto, ringrazio tutti coloro che risponderanno e mi scuso per il fatto che scrivo con derive e poi posto gli screenshoot, non ho ancora imparato la sintassi per scrivere le formule sul sito.
1)
Sfruttando le proprietà dei logaritmi lo posso scrivere come:
Adesso usando Taylor e prendendo il primo termine della serie del logaritmo e del seno mi rimane:
Il limite quindi esiste e vale
2)
Anche questo sempre sfruttando le proprietà dei logaritmi lo scrivo come:
Adesso uso Taylor e come ho fatto prima prendo il primo termine della serie del sel logaritmo e del seno e rimane:
Quindi mi rimane
Dato che il grafico di 1/x è
Il limite con x che tende a 0 NON ESISTE.
3)
Utilizzando taylor prendendo sempre il primo termine della serie rimane:
Ora che faccio? Per favore spiegatemelo passo passo.
E con questo è tutto, ringrazio tutti coloro che risponderanno e mi scuso per il fatto che scrivo con derive e poi posto gli screenshoot, non ho ancora imparato la sintassi per scrivere le formule sul sito.
Risposte
Beh, l'ultimo limite che hai scritto non esiste,
ma esistono il limite destro e sinistro,
e sono rispettivamente $+oo$ e $-oo$.
La funzione è uguale, per $x->0$, a:
$x^14/(2^7*x^15)=1/(2^7*x)$
ora come dicevo prima esistono i limiti
destro e sinistro per $x->0$, ma non esiste per $x->0$.
ma esistono il limite destro e sinistro,
e sono rispettivamente $+oo$ e $-oo$.
La funzione è uguale, per $x->0$, a:
$x^14/(2^7*x^15)=1/(2^7*x)$
ora come dicevo prima esistono i limiti
destro e sinistro per $x->0$, ma non esiste per $x->0$.
e gli altri vanno bene?graze mille fireball
io ho un altro dubbio, ma colgo l'occasione di questo post per non aprirne un'altro sempre su taylor.
allora, amenoche' io non mi sia bevuto il cervello, e' falso che $T_{n}(f*g)=T_{n}(f)*T_{n}(g)$, basta notare che i due polinomi hanno grado diverso, quello a sinistra n, quello a destra 2n. Oppure basta ricordare la formula di taylor e il fatto che la derivata del prodotto non e' il prodotto delle derivate. (correggetemi se dico idiozie)
Bon, detto questo quello che non mi e' chiaro e' ad esempio:
sia $f(x) = e^x*sin(x)$, cerco il polinimio di taylor al secondo ordine in $x_{0}=0$ con la normale formula di taylor(mi calcolo le derivate) e ottengo
$T_{2}(f) = x+x^2$ quindi $e^x*sin(x) = x + x^2 + o(x^2)$
se pero' sviluppo prima e^x e sin(x) e faccio il prodotto ho un $(1+x+(x^2)/2 + o(x^2))(x-x^3/6 + o(x^3)) = x + x^2 + o(x^2)$
se continuo vedo che vale anche per il terzo ordine, cioe' $(1+x+(x^2)/2 + o(x^2))(x-x^3/6 + o(x^3)) = x + x^2 + (x^3)/3 + o(x^3)$
al quarto non funziona piu'.
quand'e' che posso sviluppare f*g sviluppando separatamente f e g e poi facendo il prodotto?
scusate l'incasinamento
allora, amenoche' io non mi sia bevuto il cervello, e' falso che $T_{n}(f*g)=T_{n}(f)*T_{n}(g)$, basta notare che i due polinomi hanno grado diverso, quello a sinistra n, quello a destra 2n. Oppure basta ricordare la formula di taylor e il fatto che la derivata del prodotto non e' il prodotto delle derivate. (correggetemi se dico idiozie)
Bon, detto questo quello che non mi e' chiaro e' ad esempio:
sia $f(x) = e^x*sin(x)$, cerco il polinimio di taylor al secondo ordine in $x_{0}=0$ con la normale formula di taylor(mi calcolo le derivate) e ottengo
$T_{2}(f) = x+x^2$ quindi $e^x*sin(x) = x + x^2 + o(x^2)$
se pero' sviluppo prima e^x e sin(x) e faccio il prodotto ho un $(1+x+(x^2)/2 + o(x^2))(x-x^3/6 + o(x^3)) = x + x^2 + o(x^2)$
se continuo vedo che vale anche per il terzo ordine, cioe' $(1+x+(x^2)/2 + o(x^2))(x-x^3/6 + o(x^3)) = x + x^2 + (x^3)/3 + o(x^3)$
al quarto non funziona piu'.
quand'e' che posso sviluppare f*g sviluppando separatamente f e g e poi facendo il prodotto?
scusate l'incasinamento
forse faccio confusione tra il fatto che anche se il polinomio $T(f*g)$ e' diverso da $T(f)*T(g)$ io sto prendendo in considerazione un'approssimazione arrestata ad un certo ordine, e non lo sviluppo completo...
quindi se dico che $f(x) = e^x*sin(x) = (1+x+(x^2)/2 + o(x^2))(x-x^3/6 + o(x^3)) = x+x^2+x^3/3 -x^4/6 - x^5/12+ o(x^5)$ dovrebbe essere comunque vero, anche se lo sviluppo di taylor al quinto ordine di f*g e' diverso.
Qualcuno puo' dirmi se quello che dico ha senso o no?
quindi se dico che $f(x) = e^x*sin(x) = (1+x+(x^2)/2 + o(x^2))(x-x^3/6 + o(x^3)) = x+x^2+x^3/3 -x^4/6 - x^5/12+ o(x^5)$ dovrebbe essere comunque vero, anche se lo sviluppo di taylor al quinto ordine di f*g e' diverso.
Qualcuno puo' dirmi se quello che dico ha senso o no?
Se vuoi arrivare al quinto ordine in modo corretto devi sviluppare:
*$e^x $ fino al quarto ordine perchè il termine di grado più basso che trovi nello sviluppo di $sin x$ è di primo ordine
*$ sinx $ lo devi sviluppare fino al quinto ordine perchè il termine di grado più basso che hai nello sviluppo di $e^x $ è di grado zero.
*$e^x $ fino al quarto ordine perchè il termine di grado più basso che trovi nello sviluppo di $sin x$ è di primo ordine
*$ sinx $ lo devi sviluppare fino al quinto ordine perchè il termine di grado più basso che hai nello sviluppo di $e^x $ è di grado zero.
ragazzi ma a me nessuno mi risponde? Gli altri 2 limiti vanno bene così oppure no? Per favore, ho postato tutto il procedimento non penso che a voi vi ci voglia tanto a correggermi.... 
Sì, gli altri 2 sono giusti come li hai fatti.
camillo:
Se vuoi arrivare al quinto ordine in modo corretto devi sviluppare:
*$e^x $ fino al quarto ordine perchè il termine di grado più basso che trovi nello sviluppo di $sin x$ è di primo ordine
*$ sinx $ lo devi sviluppare fino al quinto ordine perchè il termine di grado più basso che hai nello sviluppo di $e^x $ è di grado zero.
ti ringrazio, ma... come si potrebbe dimostrare che vale in generale?
forse per induzione sulla derivata kappesima dentro la formula di taylor?
"luca.barletta":
Sì, gli altri 2 sono giusti come li hai fatti.
ok, grazie mille Luca.
saro' noioso... cmq stavo provando per induzione e nel bel mezzo ho trovato un'altra cosa che non sapevo:
$(fg)^((n)) = \sum_{k=0}^n ((n),(k))g^((k))f^((n-k))$
con $(fg)^((n))$ la derivata ennesima di $f*g$
e' una bestemmia o e' corretto?
$(fg)^((n)) = \sum_{k=0}^n ((n),(k))g^((k))f^((n-k))$
con $(fg)^((n))$ la derivata ennesima di $f*g$
e' una bestemmia o e' corretto?
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