Limiti con Taylor

[lorenzofranco24]

Ragazzi non mi è chiara una cosa riguardo lo svolgimento di un limite.
$ lim_(x -> 0) (senx-x+2x^5)/(3x^3) $
questo limite conduce ad una forma indeterminata.
Ora io mi trovo davanti diverse possibilità: 1) potrei sostituire il senx con x visto l'equivalenza asintotica e il limite risulterà uguale a 0.
2)Con lo sviluppo di Taylor-McLaurin al terzo ordine del senx( $ x-x^3/6+o(x^3) $ ) il limite mi uscirà uguale a $ -1/18 $
Perché questa differenza? Sarà sbagliata l'equivalenza asintotica?

[Anacleto13]

Si perchè è $x+o(x)$ e quindi cancella tutto quello di grado superiore, e quindi avrai una forma indeterminata..

[lorenzofranco24]

Scusami ma non ho capito cosa vuoi dire

[francicko]

Il risultato corretto è quello ottenuto con lo sviluppo di Taylor, in quanto l'asintotico che equivale allo sviluppo di Taylor arrestato al termine in $x $ non è sufficiente ad eludere la forma indeterminata.

[lorenzofranco24]

per $ x -> 0 $ senx $ ~ $ x quindi sostituendo nel limite mi viene
$ lim_(x -> 0) (x-x+2x^5)/(3x^3) $ = $ lim_(x -> 0) (2x^5)/(3x^3) $ = $ lim_(x -> 0) (2x^2)/(3) $ =0
Questo procedimento quindi è sbagliato?

[mdonatie]

"Drenthe24":Scusami ma non ho capito cosa vuoi dire

Devi considerare $o(x^n)$

Se consideri lo sviluppo di Taylor al primo ordine: $\sin(x)=x+o(x)$
Quindi:
$\lim_(xrarr0) (\sin(x)-x+x^5)/(3x^3)=\lim_(xrarr0)(x-x+o(x))/(3x^3)=[0/0]$

Se consideri lo sviluppo al terzo ordine: $\sin(x)=x-(x^3)/(3!)+o(x^3)$
Quindi:
$\lim_(xrarr0) (\sin(x)-x+x^5)/(3x^3)=\lim_(xrarr0)(x-(x^3)/(3!)+o(x^3)-x)/(3x^3)=-1/18$

Se consideri lo sviluppo al quinto ordine: $\sin(x)=x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)+o(x^5)$
Quindi:
$\lim_(xrarr0) (\sin(x)-x+x^5)/(3x^3)=\lim_(xrarr0)(x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)+o(x^5)-x+x^5)/(3x^3)~~\lim_(xrarr0)(-1/18+((5!+1)x^2)/(3*5!))=-1/18$

[lorenzofranco24]

"mdonatie":[quote="Drenthe24"]Scusami ma non ho capito cosa vuoi dire

Devi considerare $o(x^n)$

Se consideri lo sviluppo di Taylor al primo ordine: $\sin(x)=x+o(x)$
Quindi:
$\lim_(xrarr0) (\sin(x)-x+x^5)/(3x^3)=\lim_(xrarr0)(x-x+o(x))/(3x^3)=[0/0]$

Se consideri lo sviluppo al terzo ordine: $\sin(x)=x-(x^3)/(3!)+o(x^3)$
Quindi:
$\lim_(xrarr0) (\sin(x)-x+x^5)/(3x^3)=\lim_(xrarr0)(x-(x^3)/(3!)+o(x^3)-x)/(3x^3)=-1/18$

Se consideri lo sviluppo al quinto ordine: $\sin(x)=x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)+o(x^5)$
Quindi:
$\lim_(xrarr0) (\sin(x)-x+x^5)/(3x^3)=\lim_(xrarr0)(x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)+o(x^5)-x+x^5)/(3x^3)~~\lim_(xrarr0)(-1/18+((5!+1)x^2)/(3*5!))=-1/18$[/quote]
Perfetto, chiarissimo ho capito questo, la mia domanda era in riferimento alla comparazione dei due modi di procedere illustrati sopra

[mdonatie]

Come ha già detto francicko:
l'equivalenza asintotica deriva dallo sviluppo di Taylor... perciò non puoi scrivere $\sin(x)-x+x^5$ come $x-x+x^5$, sarebbe un errore.

[lorenzofranco24]

Ok ora ci sono, quindi in futuro sarà meglio procedere con lo sviluppo di Taylor piuttosto che con la sostituzione asintotica.Un ultima domanda,in generale, come faccio a capire fino a quale ordine si deve sviluppare il polinomio di Taylor?
Grazie ragazzi

[Anacleto13]

"Drenthe24":Ok ora ci sono, quindi in futuro sarà meglio procedere con lo sviluppo di Taylor piuttosto che con la sostituzione asintotica.Un ultima domanda,in generale, come faccio a capire fino a quale ordine si deve sviluppare il polinomio di Taylor?
Grazie ragazzi

No molte volte ritorna utile, la tua è una domanda classica che si chiedono tutti all’inizio : riposta ( anche questa classica ) : tanti esercizi..