Limiti con taylor
ragazzi premetto che su la teoria e gli sviluppi delle funzioni elementare me la cavo egregiamente il problema è solo nel considerare a che ordine di sviluppo fermarmi e come comportarmi nei limiti cioè vi posto un limite e il mio svolgimento
$lim_(x->0)(sinx-cosx+1)/(2x+x^2+1-(e^x-1)/x)$
iniziando a calcolare gli sviluppi elementari
$sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$
$cos(x)=1-x^2/2+o(x^2)$
$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
adesso questo e^x posso utilizzare il limite notevole per semplificarmi la vita oppure devo proceder e per forza con lo sviluppo ??
quando posso svolgere il limite notevole ?? ho sentito su internet che posso utilizzare il limite notevole se il primo sviluppo non si annulla nel mio caso si annulla con il $+1$ che viene subito dopo percio' che devo fare ??
continuando utilizzando il limite notevole esce
$lim_(x->0)(x-x^3/6+o(x^3)-1+x^2/2-o(x^2)+1)/(2x+x^2)$
da qua in poi dopo che faccio il mcm che devo fare devo raccogliere il termine di grado minore ??
se faccio cosi e semplifico la x mi esce 1/2 e non 2/3 come da soluzione
$lim_(x->0)(sinx-cosx+1)/(2x+x^2+1-(e^x-1)/x)$
iniziando a calcolare gli sviluppi elementari
$sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$
$cos(x)=1-x^2/2+o(x^2)$
$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
adesso questo e^x posso utilizzare il limite notevole per semplificarmi la vita oppure devo proceder e per forza con lo sviluppo ??
quando posso svolgere il limite notevole ?? ho sentito su internet che posso utilizzare il limite notevole se il primo sviluppo non si annulla nel mio caso si annulla con il $+1$ che viene subito dopo percio' che devo fare ??
continuando utilizzando il limite notevole esce
$lim_(x->0)(x-x^3/6+o(x^3)-1+x^2/2-o(x^2)+1)/(2x+x^2)$
da qua in poi dopo che faccio il mcm che devo fare devo raccogliere il termine di grado minore ??
se faccio cosi e semplifico la x mi esce 1/2 e non 2/3 come da soluzione
Risposte
fantastico 2 domandine semplici la prima: perche ti sei fermato all ordine 2 degli sviluppi se consideravo il terzo ordine usciva ugualmente ?? 3 su quello che ho detto sull'esponenziale è vero?? che se il primo sviluppo si annulla (quindi 1) non posso considerare il limite notevole ma devo procedere con taylor . grazie anticipatamente
tutto ok ma tu hai scritto
"TeM":in che modo ce lo fanno capire gli o-piccolo che stiamo sbagliando ?? un piccolo esempio e capirei subito grazie ancora
D'altro canto, sviluppare "troppo poco" porta ad errore e questo
lo si evince proprio dagli o piccolo che in tali casi, in maniera lampante, ci fanno capire che c'è qualcosa che non va.
Mi permetto di postare un esempio:
Se sviluppi una funzione ad un ordine insufficiente ti rimarrebbe il solo o-piccolo per quello sviluppo, e non va bene. Ad esempio:
Se ti fermassi al secondo ordine vedresti bene come al numeratore "sparisca tutto" tranne il resto di Peano:
e il ragionamento che faresti sarebbe: "Il numeratore ha un ordine di infinitesimo inferiore rispetto al denominatore, quindi il risultato diverge a infinito"... ma non è assolutamente vero!
Infatti se dopo che hai sviluppato ti spariscono tutti i termini devi continuare lo sviluppo finché questo fenomeno non accade più. Nel nostro esempio:
"alessandrof10":
in che modo ce lo fanno capire gli o-piccolo che stiamo sbagliando ??
Se sviluppi una funzione ad un ordine insufficiente ti rimarrebbe il solo o-piccolo per quello sviluppo, e non va bene. Ad esempio:
$lim_(x->0)(1-x^2/2-cos(x))/x^4$
Se ti fermassi al secondo ordine vedresti bene come al numeratore "sparisca tutto" tranne il resto di Peano:
\( \displaystyle \color{red}{ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\frac{x^2}{2}-[1- \frac{x^2}{2}+o(x^2)]}{x^4}=\frac{o(x^2)}{x^4} }\)
e il ragionamento che faresti sarebbe: "Il numeratore ha un ordine di infinitesimo inferiore rispetto al denominatore, quindi il risultato diverge a infinito"... ma non è assolutamente vero!
Infatti se dopo che hai sviluppato ti spariscono tutti i termini devi continuare lo sviluppo finché questo fenomeno non accade più. Nel nostro esempio:
$=>lim_(x->0)(1-x^2/2-[1-x^2/2+x^4/(4!)+o(x^4)])/x^4=(-x^4/24+o(x^4))/x^4=-1/24$
per esempio
$lim_(x->0)(log(cos(x))+log(e^x-x)-x^3/6)/(x^3arcsin(x))$
devo fare lo sviluppo del 4 ordine in quanto al denominatore mi esce un $x^4$ giusto ???
$lim_(x->0)(log(cos(x))+log(e^x-x)-x^3/6)/(x^3arcsin(x))$
devo fare lo sviluppo del 4 ordine in quanto al denominatore mi esce un $x^4$ giusto ???
si mi esce anche a me ma perche al numeratore ti esce $x^4/12$ a me esce $x^4/8$ perche il quadrato di 2 è 4 poi 4 moltiplicato il 2 dello sviluppo del ln esce 8
sisi grazie di tutto ci ero arrivato infatti con il coseno mi ero fermato al secondo sviluppo poi ho visto che con gli o-piccolo qualcosa non tornava nel senso che uno era $x^2$ e l altro $x^4$ quindi un modo per non sbagliare è sempre quello di avere gli o piccoli dello stesso grado ???
risposta saggia grazie di tutto speriamo di passare questo esame a settembre 
Ps. è molto utile la tabella su le equazioni differenziali Grazie ancora
Ps. è molto utile la tabella su le equazioni differenziali Grazie ancora
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