Limiti con Taylor
Salve a tutti, volevo chiedere un aiuto con i seguenti limiti da svolgere con gli sviluppi di Taylor:
$(e^(-arctan(x))-1+ln(x+1))/(x(1-cos(x)))$ per x che tende a zero
$((tan(x))^2+2*(cos(x)-1))/(x^2(sin(x)+arctan(x))^2)$ per x che tende a zero
li ho rifatti fino all' esasperazione e mi viene come risultato sempre 1/3 per il primo e 1/8 per il secondo...ho guardato però sulle soluzioni e su internet e mi danno come risultati esatti 1 per il primo e 3/16 per il secondo..per favore aiutatemi!
$(e^(-arctan(x))-1+ln(x+1))/(x(1-cos(x)))$ per x che tende a zero
$((tan(x))^2+2*(cos(x)-1))/(x^2(sin(x)+arctan(x))^2)$ per x che tende a zero
li ho rifatti fino all' esasperazione e mi viene come risultato sempre 1/3 per il primo e 1/8 per il secondo...ho guardato però sulle soluzioni e su internet e mi danno come risultati esatti 1 per il primo e 3/16 per il secondo..per favore aiutatemi!
Risposte
edo, metti il segno del dollare all'inizio e alla fine della formula e ti uscirà scritto in modo decente. 
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{x(1-\cos x)}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(1-\cos x)}{x^2(\sin x+\arctan x)^2}
\end{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{x(1-\cos x)}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(1-\cos x)}{x^2(\sin x+\arctan x)^2}
\end{align*}
ah ok scusami è che sono nuovo e non pensavo si facesse così!grazie mille 
il secondo limite, a meno che tu non l'abbia scritto male, ad occhio si vede che va a $+\infty$ ... forse l'hai scritto male
mmm no non va ad infinito..è una forma indeterminata 0 su 0..
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(1-\cos x)}{x^2(\sin x+\arctan x)^2}\sim \lim_{x\to 0} \frac{x^2+2(\frac{1}{2}x^2)}{x^2( x+x)^2}=\lim_{x\to 0} \frac{2x^2 }{ 4x^4 }=\lim_{x\to 0} \frac{1 }{ 2x^2 }=+\infty
\end{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(1-\cos x)}{x^2(\sin x+\arctan x)^2}\sim \lim_{x\to 0} \frac{x^2+2(\frac{1}{2}x^2)}{x^2( x+x)^2}=\lim_{x\to 0} \frac{2x^2 }{ 4x^4 }=\lim_{x\to 0} \frac{1 }{ 2x^2 }=+\infty
\end{align*}
ma io ho scritto $2*(cosx-1))$ non $2(1-cosx)$..
scusa!!!!!!!!!!!!!!! ho letto male ...allora si , il risutato è giusto
ma io continuo a rifarlo e mi viene sempre 1/3 sulla prima e 1/8 sula seconda che sono sbagliati volevo sapere se a qualcuno, che gli ha svolti , gli siano venuti i risultati esatti e come sia giunto a ciò perché non riesco a venirne fuori..probabilmente sbaglio sempre la stessa cosa..è per quello che volevo sentire qualcuno in modo da confrontarmi..
volevo sapere se a qualcuno, che gli ha svolti , gli siano venuti i risultati esatti e come sia giunto a ciò perché non riesco a venirne fuori..probabilmente sbaglio sempre la stessa cosa..è per quello che volevo sentire qualcuno in modo da confrontarmi..
\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{x(1-\cos x)} \end{align*}
La prima cosa che si psserva è che il denominatore è facilmente trattabile, nel senso che puoi senz'altro scriverlo come:
\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{x(1-\cos x)} \sim \lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{x\cdot\frac{1}{2}x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{ \frac{1}{2}x^3} \end{align*}
per quanto riguarda il numeratore cercherei di svilupparlo fino all'aordine $3$ visto che cmq a denominatore ho un terzo ordine; allora ricordando gli sviluppi
\begin{align*}
e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\\
\arctan x&=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\
\ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)
\end{align*}
otteniamo:
\begin{align*}
&\lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{ \frac{1}{2}x^3} \\
& \stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to 0} \frac{1-\arctan x+\frac{\arctan^2 x}{2}-\frac{\arctan^3 x}{3!}+o(\arctan^3 x)-1 +x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{ \frac{1}{2}x^3} \\
&=\lim_{x\to 0} \frac{1-\left(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)+\frac{\left(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)^2}{2}-\frac{\left(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)^3}{3!}+o(x^3)-1 +x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{ \frac{1}{2}x^3} \\
&=\lim_{x\to 0} \frac{1- x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) +\frac{1}{2} x^2 +o(x^3) -\frac{1}{3!}\left(x^3 +o(x^3)\right) -1 +x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{ \frac{1}{2}x^3} \\
&=\lim_{x\to 0} \frac{1- x+\frac{x^3}{3} +\frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{3!} x^3 -1 +x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{ \frac{1}{2}x^3} =\lim_{x\to 0} \frac{ \frac{x^3}{3} -\frac{1}{3!} x^3 +\frac{x^3}{3} }{ \frac{1}{2}x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{ \frac{1}{2} x^3 }{ \frac{1}{2}x^3}=1
\end{align*}
\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(\cos x-1)}{x^2(\sin x+\arctan x)^2} \end{align*}
Anche in questo caso il denominatore si tratta facilmente :
\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(\cos x-1)}{x^2(\sin x+\arctan x)^2} \sim \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(\cos x-1)}{x^2( x+ x)^2}=\lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(\cos x-1)}{4x^4 }\end{align*}
per quanto riguarda il numeratore cercherei di svilupparlo fino all'aordine $4$ visto che cmq a denominatore ho un quarto ordine; allora ricordando gli sviluppi
\begin{align*}
\tan x&= x+\frac{x^3}{3} +o(x^4)\\
\cos x&=1- \frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)
\end{align*}
otteniamo:
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(\cos x-1)}{4x^4 }&\stackrel{\bf(T)}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\left(x+\frac{x^3}{3} +o(x^4)\right)^2 +2\left[ \left(1- \frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\right)-1\right]}{4x^4 }\\
&=\lim_{x\to 0} \frac{ x^2+\frac{2}{3}x^4 +o(x^4) +2\left[ -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4) \right]}{4x^4 }\\
&=\lim_{x\to 0} \frac{ \frac{9}{12}x^4 }{4x^4 }=\frac{3}{16}
\end{align*}
La prima cosa che si psserva è che il denominatore è facilmente trattabile, nel senso che puoi senz'altro scriverlo come:
\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{x(1-\cos x)} \sim \lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{x\cdot\frac{1}{2}x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{ \frac{1}{2}x^3} \end{align*}
per quanto riguarda il numeratore cercherei di svilupparlo fino all'aordine $3$ visto che cmq a denominatore ho un terzo ordine; allora ricordando gli sviluppi
\begin{align*}
e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\\
\arctan x&=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\
\ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)
\end{align*}
otteniamo:
\begin{align*}
&\lim_{x\to 0} \frac{e^{-\arctan x}-1+\ln(x+1)}{ \frac{1}{2}x^3} \\
& \stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to 0} \frac{1-\arctan x+\frac{\arctan^2 x}{2}-\frac{\arctan^3 x}{3!}+o(\arctan^3 x)-1 +x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{ \frac{1}{2}x^3} \\
&=\lim_{x\to 0} \frac{1-\left(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)+\frac{\left(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)^2}{2}-\frac{\left(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)^3}{3!}+o(x^3)-1 +x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{ \frac{1}{2}x^3} \\
&=\lim_{x\to 0} \frac{1- x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) +\frac{1}{2} x^2 +o(x^3) -\frac{1}{3!}\left(x^3 +o(x^3)\right) -1 +x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{ \frac{1}{2}x^3} \\
&=\lim_{x\to 0} \frac{1- x+\frac{x^3}{3} +\frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{3!} x^3 -1 +x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{ \frac{1}{2}x^3} =\lim_{x\to 0} \frac{ \frac{x^3}{3} -\frac{1}{3!} x^3 +\frac{x^3}{3} }{ \frac{1}{2}x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{ \frac{1}{2} x^3 }{ \frac{1}{2}x^3}=1
\end{align*}
\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(\cos x-1)}{x^2(\sin x+\arctan x)^2} \end{align*}
Anche in questo caso il denominatore si tratta facilmente :
\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(\cos x-1)}{x^2(\sin x+\arctan x)^2} \sim \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(\cos x-1)}{x^2( x+ x)^2}=\lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(\cos x-1)}{4x^4 }\end{align*}
per quanto riguarda il numeratore cercherei di svilupparlo fino all'aordine $4$ visto che cmq a denominatore ho un quarto ordine; allora ricordando gli sviluppi
\begin{align*}
\tan x&= x+\frac{x^3}{3} +o(x^4)\\
\cos x&=1- \frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)
\end{align*}
otteniamo:
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{\tan^2x+2(\cos x-1)}{4x^4 }&\stackrel{\bf(T)}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\left(x+\frac{x^3}{3} +o(x^4)\right)^2 +2\left[ \left(1- \frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\right)-1\right]}{4x^4 }\\
&=\lim_{x\to 0} \frac{ x^2+\frac{2}{3}x^4 +o(x^4) +2\left[ -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4) \right]}{4x^4 }\\
&=\lim_{x\to 0} \frac{ \frac{9}{12}x^4 }{4x^4 }=\frac{3}{16}
\end{align*}
grazie mille noise, la tua risposta è stata chiarissima ed ho capito dove sbagliavo..nel primo limite non sviluppavo tanto l'arctan e così mi ritrovavo con un $x^3/3$ di meno mentre nel secondo limite ho fatto un imperdonabile errore di calcolo dividendo 2 per il $4!$ fattoriale facendo diventare quest'ultimo 2! -.-"..grazie mille ancora
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