Limiti con sviluppi di taylor, dove sbaglio?

[Infrid]

ciao a tutti, sto provando a fare qualche limite utilizzando gli sviluppi di taylor, il problema è che le mie soluzioni non combaciano con quelle del libro. Ecoc il testo dell'esercizio

$\lim_{x \to 0}\frac{cosh^2(x)-1-x^2}{x^4}$

secondo il libro il risultato dovrebbe essere $1/3$

a me viene un'altro valore, e procedo in questo modo

1) sviluppo la funzione $senh(x)$ in modo da ritrovarmi un polinomi di quarto ordine, quindi
$lim_{x \to 0}\frac{(1+\frac{x^2}{2} +o(x^2))^2-1-x^2}{x^4}$

2) sviluppo il prodotto notevole $(1+\frac{x^2}{2} +o(x^2))^2$
$lim_{x \to 0}\frac{ 1+x^4/4 + [o(x^2)]^2 + 2x^2/2 + 2*o(x^2)+\frac{2*x^2*o(x^2)}{2} -1-x^2}{x^4}=$
$=lim_{x \to 0}\frac{ x^4/4 + [o(x^2)]^2 + o(x^2)+o(x^4)}{x^4}$

3) quindi considero
$lim_{x \to 0}\frac{x^4/4}{x^4}=1/4$

dove sbaglio?

grazie mille!

[VINX89]

Mi trovo esattamente con il tuo risultato...quali sono le probabilità che sbagli il libro?

[EnderWiggins]

Beh,c'è qualcosa che non mi convince nel tralasciare $o(x^2)$: è un infinitesimo di ordine inferiore di $x^4$ per $x rightarrow 0$, potrebbe nascondere un termine che influisce sul risultato.

[gugo82]

Nessuna probabilità che sbagli il libro, il limite vale $1/3$.

Infatti:

- il primo coefficiente della serie di MacLaurin di $cosh^2x$ è $a_0=(cosh^20)/(0!)=1$;
- visto che $("d")/("d"x) cosh^2x=sinh2x$, il secondo coefficiente di MacLaurin è $a_1=(sinh0)/(1!)=0$;
- visto che $("d"^2)/("d"x^2) cosh^2x=2cosh(2x)$, il terzo coefficiente di MacLaurin è $a_2=(2cosh0)/(2!)=1$;
- visto che $("d"^3)/("d"x^3) cosh^2x=4sinh(2x)$, il quarto coefficiente di MacLaurin è $a_3=(4sinh0)/(3!)=0$;
- visto che $("d"^4)/("d"x^4) cosh^2x=8cosh(2x)$, il quinto coefficiente di MacLaurin è $a_4=(8cosh0)/(4!)=1/3$;

perciò lo sviluppo di MacLaurin al quarto ordine è:

$cosh^2x=1+x^2+1/3x^4+"o"(x^4)$.

L'errore sta nell'aver troncato lo sviluppo di $coshx$ al termine quadratico prima dell'elevamento al quadrato, dimenticando i termini in $x^4$: invero aggiungendo il termine in $x^4$ nello sviluppo di $coshx$, si ha:

$cosh^2x=[1+x^2/2+x^4/(24)+"o"(x^6)]^2=1+x^2+x^4/4+2x^4/(24)+"o"(x^6)=1+x^2+1/3x^4+"o"(x^6)$

come mostrato dal calcolo diretto dei coefficienti di MacLaurin.

[Infrid]

"Gugo82":Nessuna probabilità che sbagli il libro, il limite vale $1/3$.

L'errore sta nell'aver troncato lo sviluppo di $coshx$ al termine quadratico prima dell'elevamento al quadrato, dimenticando i termini in $x^4$: invero aggiungendo il termine in $x^4$ nello sviluppo di $coshx$, si ha:

$cosh^2x=[1+x^2/2+x^4/(24)+"o"(x^6)]^2=1+x^2+x^4/4+2x^4/(24)+"o"(x^6)=1+x^2+1/3x^4+"o"(x^6)$

come mostrato dal calcolo diretto dei coefficienti di MacLaurin.

non mi è chiaro cosa dici, dovevo fermarmi allo sviluppo del quarto ordine invece del secondo? se si, perché?

[K.Lomax]

In pratica, se partiamo dal calcolo tuo, a numeratore scrivi

$....+2o(x^2)+....$

Nel tuo caso $o(x^2)=x^4/24+o(x^4)$ e quindi $2o(x^2)=x^4/12+2o(x^4)$. Il fattore $x^4/12$ è da tenere in conto.

[gugo82]

"Infrid":[quote="Gugo82"]Nessuna probabilità che sbagli il libro, il limite vale $1/3$.

L'errore sta nell'aver troncato lo sviluppo di $coshx$ al termine quadratico prima dell'elevamento al quadrato, dimenticando i termini in $x^4$: invero aggiungendo il termine in $x^4$ nello sviluppo di $coshx$, si ha:

$cosh^2x=[1+x^2/2+x^4/(24)+"o"(x^6)]^2=1+x^2+x^4/4+2x^4/(24)+"o"(x^6)=1+x^2+1/3x^4+"o"(x^6)$

come mostrato dal calcolo diretto dei coefficienti di MacLaurin.

non mi è chiaro cosa dici, dovevo fermarmi allo sviluppo del quarto ordine invece del secondo? se si, perché?[/quote]
Dalla teoria dovresti sapere che, troncando lo sviluppo di MacLaurin di una funzione $f(x)$ al terzo termine (cioè alla potenza di grado $2$), ottieni un'approssimazione del tipo $p_2(x)+"o"(x^2)$ con $p_2(x)$ polinomio di secondo grado; pertanto, sviluppando il quadrato, troveresti un'approssimazione di $f^2(x)$ del tipo:

$f^2(x)=[p_2(x)+"o"(x^2)]^2=p_4(x)+"o"(x^2)$,

con $p_4(x)$ polinomio di quarto grado, ove l'ordine d'infinitesimo del "termine complementare" non può aumentare (a meno che in $p_2(x)$ manchino i termini di grado $=0$, ossia a meno che in $p_2(x)$ manchi il termine noto).
Nel tuo caso hai trovato $coshx=1+x^2/2+"o"(x^2)$ e sviluppando per bene il quadrato hai:

$cosh^2x=[1+x^2/2+"o"(x^2)]^2=1+2x^2/2+x^4/4+\{2"o"(x^2) +2x^2/2"o"(x^2)+["o"(x^2)]^2\}$
$\quad \quad = 1+x^2+x^4/4+\{ "o"(x^2)+"o"(x^4)\}$
$\quad \quad =1+x^2+x^4/4+"o"(x^2) \quad$ (nella somma tra due infinitesimi prevale quello d'ordine minore!)

e quindi per il rapporto che figura sotto il segno di limite trovi l'espressione:

$(cosh^2x-1-x^2)/x^4=(x^4/4+"o"(x^2))/x^4$

la quale, a causa della presenza di $"o"(x^2)$ al numeratore, non ti consente di concludere nulla sul limite del rapporto.
Infatti $lim_(x\to 0)("o"(x^2))/x^4$ può essere nullo, finito non nullo od infinito a seconda di com'è fatto lo $"o"(x^2)$: ad esempio,

- se $"o"(x^2)=x^3$, allora $lim_(x\to 0)("o"(x^2))/x^4=+oo$;
- se $"o"(x^2)=x^4$, allora $lim_(x\to 0)("o"(x^2))/x^4=1$;
- se $"o"(x^2)=x^5$, allora $lim_(x\to 0)("o"(x^2))/x^4=0$...

Pertanto non basta troncare lo sviluppo di $coshx$ al terzo termine e si deve prendere qualche termine in più.

[Infrid]

avevo delle lacune che adesso ho colmato, grazie mille, adesso mi è tutto più chiaro