Limiti con successioni limitate

[MaxwellD]

Sto affrontando un esercizio che, data una generica successione limitata \(\displaystyle an \), mi chiede di dire se esistano, fornendo esempi, il seguente limite:

\(\displaystyle lim \) \(\displaystyle n*an \)

Il mio dubbio deriva dal fatto che su molti appunti in pdf o forum online vedo scritto che se \(\displaystyle an \) è definitivamente positiva, allora il limite dell'esercizio sarà \(\displaystyle + oo \), se definitvamente negativa, \(\displaystyle -oo\). Questo però non mi torna, nel caso di una successione oscillante tra due valori entrambi positivi (o entrambi negativi), come può \(\displaystyle n*an \) tendere a \(\displaystyle + oo \) ? Facendo preciso riferimento alla definizione di divergenza a \(\displaystyle +- oo \), quanto scritto sopra non mi torna perchè avremo comunque una successione osciallante, anche se non più limitata!
A mio parere per dire che la successione tende a \(\displaystyle +- oo \) bisogna premettere che \(\displaystyle an \) ad ogni
\(\displaystyle n \in N \) associ definitivamente un unico valore in \(\displaystyle R \).
Questa ragionamente è corretto o no?

Nel caso \(\displaystyle n^3/an \) posso applicare lo stesso ragionamento?

[gugo82]

Cosa vuol dire "definitivamente positiva"?

[MaxwellD]

Se da un certo \(\displaystyle n \) in poi \(\displaystyle an>0 \).
Pare un esempio \(\displaystyle sin(n)+2 \) è definitivamente positiva, ma non mi risulta che \(\displaystyle n*(sin(n)+2) \) diverga a \(\displaystyle +oo \)

[gugo82]

E perchè no?

Ad ogni modo, è evidente che chi ha scritto quelle cosa in rete si è sbagliato... Il limite \(\lim_n n\ a_n\) è \(+\infty\) se \(a_n\) è definitivamente maggiore di un numero \(m>0\).
Riesci a provarlo?

Infatti che la condizione "\(a_n\) limitata e definitivamente \(>0\)" non sia sufficiente a garantire \(\lim_n n\ a_n=+\infty\) si vede subito: invero, la successione \(a_n=1/n\) è limitata e definitivamente positiva, però \(\lim_n n\ a_n=\lim_n 1=1\neq +\infty\).

[MaxwellD]

Perchè anche se i valori assunti da \(\displaystyle n*an \) in questo caso crescono assumendo valori molto grandi, questo non implica che, scelto ogni valore di \(\displaystyle R \) esista un \(\displaystyle n \in N \) tale che la successione \(\displaystyle n*an \) sia maggiore di \(\displaystyle k \) per tutti gli altri naturali successivi a n, che è la definizione di successione divergente; questo dal grafico mi sembra abbastanza evidente...

[gugo82]

Grafico? Da quando in qua le dimostrazioni si fanno solo coi grafici?

Ad ogni modo vale il seguente teorema:

Se \((a_n)\) è una successione definitivamente maggiore di un numero \(m>0\), allora \(\lim_n n\ a_n=+\infty\)

Dovresti essere in grado di fare questa dimostrazione da solo; provaci.
Poi confronta la tua con quella riportata in spoiler.

Dim.: Per ipotesi esiste \(\lambda\in \mathbb{N}\) (dipendente unicamente dalla successione \((a_n)\) e non dall'indice \(n\)) tale che \(a_n\geq m\) per \(n\geq \lambda\); pertanto, si ha pure:
\[
\tag{1}
\forall n\geq \lambda,\quad n\ a_n\geq n\ m
\]
con \(m>0\).
Dato che \(\lim_n n=+\infty\), per ogni fissato \(\varepsilon >0\), in corrispondenza del numero positivo \(\varepsilon /m\) è possibile determinare \(\mu =\mu (\varepsilon/m)\in \mathbb{N}\) tale che:
\[
\tag{2}
\forall n\geq \mu,\quad n \geq \frac{\varepsilon}{m}\; .
\]
Conseguentemente, scelto \(\nu =\nu (\varepsilon) :=\max \{ \lambda ,\mu (\varepsilon /m)\}\), per \(n\geq \nu\) valgono entrambe le (1) e (2) e perciò si può scrivere:
\[
\tag{3}
\forall n\geq \nu,\quad n\ a_n\geq m\ n \geq \varepsilon\; .
\]
Data l'arbitrarietà nella scelta di \(\varepsilon\), la precedente implica che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu =\nu (\varepsilon)\in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\quad n\ a_n\geq \varepsilon
\]
cioè che \(\lim_n n\ a_n=+\infty\). \(\square\)

Come si applica la proposizione precedente al caso della tua successione \(a_n=2+\sin n\)?

Cosa succede nel caso in cui si ha definitivamente \(a_n

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