Limiti con radici.
Salve, ho un problema con il seguente esercizio: $ lim_(n -> oo) [root(5)(n^15+n^14) - root(5)(n^15+9)]/(n* (root(2) (n^2+1)-ln(n)) $
La prima cosa che ho fatto è quella di trascurare( confronto asintotico) il logaritmo e quindi mi risulta:
$ lim_(n -> oo) [root(5)(n^15+n^14) - root(5)(n^15+9)]/(n* (root(2) (n^2+1)) $
Però ora non so come andare avanti perché se razionalizzo non mi ritorna il risultato di 1/5.
Grazie mille a chi risponderà.
La prima cosa che ho fatto è quella di trascurare( confronto asintotico) il logaritmo e quindi mi risulta:
$ lim_(n -> oo) [root(5)(n^15+n^14) - root(5)(n^15+9)]/(n* (root(2) (n^2+1)) $
Però ora non so come andare avanti perché se razionalizzo non mi ritorna il risultato di 1/5.
Grazie mille a chi risponderà.
Risposte
Prova a raccogliere \(n^{15}\) sotto le radici, e poi applica gli sviluppi notevoli...
Se raccolgo un $ n^15 $ dopo in numeratore mi viene 0, perché diventerebbe:
$ lim_(n-> oo ) (root 5 (n^15*(1+1/x) ) - (root(5) (n^15(1+9/n^15))) $
Le parentesi vengono eliminate e mi rimane:
$ n^3-n^3 $
Che risulta =0.
$ lim_(n-> oo ) (root 5 (n^15*(1+1/x) ) - (root(5) (n^15(1+9/n^15))) $
Le parentesi vengono eliminate e mi rimane:
$ n^3-n^3 $
Che risulta =0.
Si però non puoi ignorare brutalmente metà del suggerimento:
"Weierstress":
poi applica gli sviluppi notevoli...
Ciao Dot.who,
Benvenuto sul forum!
Limiti simili sono stati risolti proprio di recente, ad esempio qui.
Comunque, seguendo la prima parte del suggerimento di Weierstress, si ha:
$lim_{n \to +\infty} [root(5)(n^15+n^14) - root(5)(n^15+9)]/(n sqrt{n^2+1}) = lim_{n \to +\infty} [n^3 root(5)(1+ 1/n) - n^3 root(5)(1+9/n^15)]/(n^2 sqrt{1+1/n^2}) = $
$ = lim_{n \to +\infty} [n(root(5)(1+ 1/n) - root(5)(1+9/n^15))]/(sqrt{1+1/n^2}) = lim_{n \to +\infty} 1/(sqrt{1+1/n^2}) \cdot lim_{n \to +\infty} [root(5)(1+ 1/n) - root(5)(1+9/n^15)]/(1/n) = $
$ = lim_{n \to +\infty} 1/(sqrt{1+1/n^2}) \cdot lim_{n \to +\infty} [root(5)(1+ 1/n) - 1 - (root(5)(1+9/n^15) - 1)]/(1/n) = $
$ = lim_{n \to +\infty} 1/(sqrt{1+1/n^2}) \cdot [lim_{n \to +\infty} frac{root(5)(1+ 1/n) - 1}{1/n} - lim_{n \to +\infty} frac{root(5)(1+9/n^15) - 1}{1/n}] = $
$ = lim_{n \to +\infty} 1/(sqrt{1+1/n^2}) \cdot [lim_{n \to +\infty} frac{root(5)(1+ 1/n) - 1}{1/n} - lim_{n \to +\infty} frac{9}{n^14} \cdot frac{root(5)(1+9/n^15) - 1}{9/n^15}] = $
$ = 1/1 \cdot [1/5 - 0] = 1/5 $
avendo fatto uso del limite notevole $ lim_{x \to 0} frac{(1+ x)^a - 1}{x} $.
Benvenuto sul forum!
Limiti simili sono stati risolti proprio di recente, ad esempio qui.
Comunque, seguendo la prima parte del suggerimento di Weierstress, si ha:
$lim_{n \to +\infty} [root(5)(n^15+n^14) - root(5)(n^15+9)]/(n sqrt{n^2+1}) = lim_{n \to +\infty} [n^3 root(5)(1+ 1/n) - n^3 root(5)(1+9/n^15)]/(n^2 sqrt{1+1/n^2}) = $
$ = lim_{n \to +\infty} [n(root(5)(1+ 1/n) - root(5)(1+9/n^15))]/(sqrt{1+1/n^2}) = lim_{n \to +\infty} 1/(sqrt{1+1/n^2}) \cdot lim_{n \to +\infty} [root(5)(1+ 1/n) - root(5)(1+9/n^15)]/(1/n) = $
$ = lim_{n \to +\infty} 1/(sqrt{1+1/n^2}) \cdot lim_{n \to +\infty} [root(5)(1+ 1/n) - 1 - (root(5)(1+9/n^15) - 1)]/(1/n) = $
$ = lim_{n \to +\infty} 1/(sqrt{1+1/n^2}) \cdot [lim_{n \to +\infty} frac{root(5)(1+ 1/n) - 1}{1/n} - lim_{n \to +\infty} frac{root(5)(1+9/n^15) - 1}{1/n}] = $
$ = lim_{n \to +\infty} 1/(sqrt{1+1/n^2}) \cdot [lim_{n \to +\infty} frac{root(5)(1+ 1/n) - 1}{1/n} - lim_{n \to +\infty} frac{9}{n^14} \cdot frac{root(5)(1+9/n^15) - 1}{9/n^15}] = $
$ = 1/1 \cdot [1/5 - 0] = 1/5 $
avendo fatto uso del limite notevole $ lim_{x \to 0} frac{(1+ x)^a - 1}{x} $.
[ot]Sono l'unico a non sopportare i limiti notevoli? In genere vado giù di Taylor in ogni occasione [/ot]
[/ot]
Grazie mille per la risposta, ora ho capito come risolverlo!!
Inizialmente quando arrivavo a zero mi fermavo ed è qui che sbagliavo!
Grazie per l'aiuto☺
Inizialmente quando arrivavo a zero mi fermavo ed è qui che sbagliavo!
Grazie per l'aiuto☺
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