Limiti con potenze n-esime e fattoriali

[Leocap9999]

Di recente mi sono imbattutto in un limite che non riesco proprio a risolvere, cioè:

$ lim_{n \to +\infty}(n^(n/2) - n!) $

So che dovrebbe tornare $ -\infty $, quindi, per giungere alla soluzione, potrei ricercare un $k>1/2$ tale che

$ n^(kn) <= n! $

In questo modo otterrei che

$ n^(n/2) - n! <= n^(n/2) - n^(kn) $

Attraverso il raccoglimento potrei dimostrare che $ n^(n/2) - n^(kn) $ tende a $ -\infty $, e, di conseguenza, anche $ n^(n/2) - n! $. Il problema è che non ho la più pallida idea di come poter determinare quel $k$.

Inoltre non sono neppure in grado di dimostrare che

$ (n/2)^(n/2) <= n! $

Ho provato con il metodo dell'induzione, ma con scarsi risultati.

[Rigel1]

Puoi dimostrare che \(n! > n^n / 3^n\), facendo vedere per induzione che \(3^n n! > n^n\).
Nel passo induttivo devi usare il fatto che \(a_n := (1+1/n)^n\) è minore di \(3\) per ogni \(n\) (forse hai già visto che la successione \((a_n)_n\) è monotona crescente e converge a \(e\)).