Limiti con o piccoli e senza

[RuCoLa1]

Buongiorno,

Mi sto esercitando sui limiti e ho trovato tre esercizi che sono riuscito a risolvere (forse ) solo sfruttando gli infinitesimi. Vorrei sapere se con semplici manipolazioni algebriche avrei potuto risolverli ugualmente ( cioè senza usare Sviluppi di Taylor, Teoremi particolari es. Hopital etc..) e sapere se ho risolto correttamente.
Eccoli:
$\lim_{x \to \infty} (ln(1 + a/x))/(e^(a/x) - e^(b/x))$ con $ a,b in RR ,a != b$

$y = 1/x$ $ -> $ $\lim_{y -> 0} (ln(1 + ay))/(e^(ay) - e^(by)) = \lim_{y -> 0} (ay +o(y))/(1+ay - 1 - by +o(y)) = \lim_{y -> 0}(y(a + (o(y))/y))/(y(a-b+(o(y))/y) )= a/(a-b)$

$\lim_{x -> 0}(x(2^x - 3^x))/(1-cos3x)$

$\lim_{x -> 0}(x(2^x - 3^x))/(1-cos3x) ->\lim_{x -> 0} ((9x) * (x))/(1-cos3x) * (2^x - 3^x)/(9x) -> \lim_{x -> 0} 1/(1/2) * (e^(x*ln2) - e^(x*ln3))/(9x) ->$ sviluppo gli $ e^(\lamda * x)$ come $1 + \lamda * x + o(x)$ quindi $\lim_{x -> 0} 2* ( x(ln2 - ln3) + o(x))/(9x) = 2/9(ln2-ln3)$

Quest'ultimo non riesco proprio a risolverlo

$\lim_{x -> 0^(+)}(3/sinx - 1/sin(3x))$

Sapreste aiutarmi?

Grazie

[Antimius]

Sono corretti, a parte qualche distrazione: manca una $a$ al numeratore nel primo esercizio e al denominatore è $a-b$, mentre al secondo hai $9x$ al denominatore
Comunque possono essere risolti utilizzando i limiti notevoli (senza invocare gli o piccoli, insomma, ma essenzialmente è la stessa cosa perché quelle equivalenze asintotiche che hai scritto derivano dai limiti notevoli):
$$\frac{\ln(1+ay)}{ay} \frac{1}{\frac{e^{ay}-1}{ay}- \frac{b}{a} \frac{e^{by}-1}{by}} \to \frac{1}{1-b/a}=\frac{a}{a-b}$$
$$\frac{9x^2}{1-\cos(3x)} \cdot \frac{1}{9} \bigg(\frac{2^x-1}{x}- \frac{3^x-1}{x}\bigg) \to \frac{2}{9} (\ln2 - \ln3)$$

Per l'ultimo,
$$\bigg(\frac{3x}{\sin x} - \frac{x}{\sin (3x)} \bigg) \cdot \frac{1}{x} \to +\infty \quad \text{per} \,x \to 0^+$$
poiché la quantità dentro la parentesi tende a $8/3$

[RuCoLa1]

Hai ragione, correggo
Grazie mille, non so perchè ma pensavo che la quantità dentro le parentesi desse 0

[Antimius]

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