Limiti con o-piccoli

[Matteo3213d]

Buongiorno,
mi potreste dare una mano a calcolare questo limite con gli o-piccoli:
$ lim_(x -> 0)(x^11-3x^2+sinx)/(1-cosx) $
I calcoli che ho fatto sono i seguenti:

$ sinx=x+o(x) $

$ cosx=1-1/2x^2+o(x^2) $

$ lim_(x -> 0)(x^11-3x^2+x+o(x))/(1/2x^2-o(x^2)) $

Ma, una volta arrivato qui, non riesco ad andare avanti.

[pilloeffe]

Ciao Matteo3213d,

Al numeratore rimane solo $x $, gli altri infinitesimi di ordine superiore possono essere inglobati nell'$o$; a denominatore rimane solo $1/2 x^2 $, per cui il limite proposto non esiste. Infatti si ha:

$\lim_{x \to 0^{\pm}}(x^11-3x^2+sinx)/(1-cosx) = \pm \infty $

con ovvio significato dei simboli.

[Matteo3213d]

Quindi posso riscrivere il limite in questo modo?
$ lim_(x -> 0)(x^11-3x^2+x+o(x))/(1/2x^2-o(x^2)) $

$ x^11 = o(x) $
$ -3x^2 = o(x) $

$ lim_(x -> 0)(o(x)+o(x)+x+o(x))/(1/2x^2-o(x^2)) $
$ lim_(x -> 0)(x+o(x))/(1/2x^2-o(x^2)) $
$ lim_(x -> 0)(x(1+(o(x))/x))/(x^2(1/2-(o(x^2))/x^2)) $

[pilloeffe]

Lascerei perdere i segni $-$ davanti agli $o$ e considererei che a numeratore in realtà gli altri due infinitesimi sono superiori a $o(x) $ per cui vengono "inglobati" in $o(x) $, ma per il resto l'idea c'è...