Limiti con MacLaurin

[Gost91]

Salve a tutti!
Dovrei calcolare i seguenti limiti utilizzando gli sviluppi di MacLaurin:

1) $\lim_{x \to \0} (e^(x^2)-1-ln(1+x^2))/(cos(2x)-2+sqrt(1+4x^2))$

per eliminare la forma di indeterminazione sviluppo fino al 4° ordine:

$e^(x^2)=1+x^2+x^4/2+o(x^4)$

$ln(1+x^2)=x^2-x^4/2+o(x^4)$

$cos(2x)=1-2x^2+2/3x^4+o(x^5)$

$sqrt(1+4x^2)=1+2x^2-2x^4+o(x^4)$

ottenendo il nuovo limite:

$\lim_{x \to \0} (1+x^2+x^4/2+o(x^4)-1-x^2+x^4/2+o(x^4))/(1-2x^2+2/3x^4+o(x^5)-2+1+2x^2-2x^4+o(x^4))$

$=\lim_{x \to \0} (x^4+o(x^4))/(-4/3x^4+o(x^4))=-3/4$

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2) $\lim_{x \to \0} (sin(x^2)+ln(1-x^2))/(sqrt(1+x^4)-1)$

sviluppo fino al 4° ordine:

$sin(x^2)=x^2+o(x^3)$

$ln(1-x^2)=-x^2+x^4/2+o(x^4)$

$sqrt(1+x^4)=1+x^4/2+o(x^4)$

ottenendo il nuovo limite:

$\lim_{x \to \0} (x^2+o(x^3)-x^2+x^4/2+o(x^4))/(1+x^4/2+o(x^4)-1)$

$=\lim_{x \to \0} (x^4/2+o(x^4))/(x^4/2+o(x^4))=1$

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3)$\lim_{x \to \0}(ln(1+2x^2)-sin(2x^2)+2x^4)/(x^4ln(1+sin(3x^2)))$

sviluppo fino al 6° ordine:

$ln(1+2x^2)=2x^2-2x^4+8/3x^6+o(x^6)$

$sin(2x^2)=2x^2-4/3x^6+o(x^7)$

$ln(1+sin(3x^2))=sin(3x^2)+o(sin(3x^2))=3x^2+o(x^2)$

ottenendo il nuovo limite:

$\lim_{x \to \0} (2x^2-2x^4+8/3x^6+o(x^6)-2x^2+4/3x^6+o(x^7)+2x^4)/(x^4(3x^2+o(x^2)))$

=$\lim_{x \to \0} (4x^6+o(x^6))/(3x^6+o(x^6))=4/3$

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4) $\lim_{x \to \0}(e^(sin(x^2)-sin^2x-1))/(ln(1+xatanx)-x^2)$

sviluppo fino al 4° ordine:

$e^(sin(x^2)-sin^2(x)-1)=1+sin(x^2)-sin^2(x)-1+o(sin(x^2)-sin^2(x)-1)$

da qui sviluppo:

$sin(x^2)=x^2+o(x^3)$

$sin^2(x)=(x-x^3/6+o(x^4))^2=x^2-x^4/3+o(x^4)$

$ln(1+xatan(x))=xatan(x)+o(xatan(x))$

da qui sviluppo:

$atan(x)=x-x^3/3+o(x^4)

ottenendo il nuovo limite:

$\lim_{x \to \0} (x^2+o(x^4)-x^2+x^4/3+o(x^4))/(x(x-x^3/3+o(x^4))-x^2)$

$=\lim_{x \to \0}(+x^4/3+o(x^4))/(-x^4/3+o(x^5))=-1$

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Ricontrollando con Derive i risultati ho notato che l'esercizio 2 torna -1
e l'esercizo 4 torna -2/5.
Premettendo che con la notazione "o piccolo" ci vo poco d'accordo,
qualcuno potrebbe farmi vedere dove sono eventuali errori e/o
darmi qualche utile consiglio su come comportarsi con l' "o piccolo"?
Grazie in anticipo!

[Gost91]

visto che ci sono posto anche quest'ultimo esercizio:

$\lim_{x \to \0} (e^x-e^sinx)/(x-tanx)$

sviluppo fino al 3° ordine:

$e^x=1+x+x^2/2+x^3/3+o(x^3)$

$e^sinx=1+sinx+(sin^2x)/2+(sin^3x)/3+o(sinx)$

da qui sviluppo:

$sinx=x-x^3/6+o(x^4)$

$sin^2x=(x+o(x^2))^2=x^2+o(x^4)

$sin^3x=(x+o(x^2))^3=x^3+o(x^6)

$tanx=x+x^3/3+o(x^4)

ottenendo il nuovo limite:

$\lim_{x \to \0} (1+x+x^2/2+x^3/3+o(x^3)-1-x+x^3/6+o(x^4)-x^2/2+o(x^4)-x^3/3+o(x^6))/(x-x-x^3/3+o(x^4))$

$=\lim_{x \to \0}(x^3/6+o(x^4))/(-x^3/3+o(x^4))=-1/2$

[Seneca1]

"Gost91":$e^x=1+x+x^2/2+x^3/3+o(x^3)$

$e^sinx=1+sinx+(sin^2x)/2+(sin^3x)/3+o(sinx)$

Attento a non perderti per strada i fattoriali. Inoltre è [tex]$o(\sin^2x)$[/tex]; ci sei?

[Gost91]

Sisi ci sono, ho dei piccoli problemi con la connessione!!
Comunque giusto, ho perso di vista i fattoriali!
Però mi sfugge il motivo percui sia $o(sin^2x)$!

quindi correggendo:

$\lim_{x \to \0} (1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)-1-x+x^3/6+o(?)-x^2/2+o(?)-x^3/6+o(?))/(x-x-x^3/3+o(x^4))$

$=\lim_{x \to \0}(x^3/6+o(?))/(-x^3/3+o(x^4))=-1/2$

Sapresti mica dirmi se ho svolto correttamente gli altri limiti?